Một số nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tiểu học phần số, chữ số và các phép tính

MỘT SỐ NỘI DUNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
CẤP TIỂU HỌC
PHẦN SỐ, CHỮ SỐ VÀ CÁC PHÉP TÍNH
Lộc Bình, ngày 18 tháng 10 năm 2011
I. BỐN PHÉP TÍNH VỚI SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VÀ SỐ THẬP PHÂN
A. PHÉP CỘNG
Kiến thức cần ghi nhớ
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. 0 + a = a + 0 = a
4. (a - n) + b = a + (b – n) = a + b - n 
5. (a + n) + b = a + (b + n) = (a + b) + n 
6. (a - n) + (b + n) = a + b
7. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là một số lẻ.
8. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là một số chẵn.
9. Tổng của các số chẵn là một số chẵn.
10. Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.
11. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
B. PHÉP TRỪ
Kiến thức cần ghi nhớ
1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c
2. Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị.
3. Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số bị trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.
4. Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi.
C. PHÉP NHÂN
Kiến thức cần nhớ
1. a ´ b = b ´ a
2. a ´ (b ´ c) = (a ´ b) ´ c
3. a ´ 0 = 0 ´ a = 0
4. a ´ 1 = 1 ´ a = a 
5. a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c
6. a ´ (b - c) = a ´ b - a ´ c
7. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0)
8. Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi.
9. Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại.
10. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn.
11. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
12. Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có tận cùng là 5.
D. PHÉP CHIA
Kiến thức cần ghi nhớ
1. a : (b ´ c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
2. 0 : a = 0 (a > 0)
3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0) 
4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
5. Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần.
6. Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại.
7. Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương không thay đổi.
8. Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm) n lần 
(n > 0) thì số dư cũng được gấp (giảm) n lần.
E. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Kiến thức cần ghi nhớ
1. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
2. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ sau.
3. Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau.
G. VÀI d¹ng bµi to¸n tÝnh nhanh ph©n sè
Kiến thức cần ghi nhớ
Vận dụng 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả tử số và mẫu số rồi thực hiện rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1
Một số ví dụ
Ví dụ 2
 = 1 (vì tử số bằng mẫu số)	
Ví dụ 3
III. DÃY SỐ
Kiến thức cần ghi nhớ
1. Đối với số tự nhiên liên tiếp :
a) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.
b) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều hơn số lượng số lẻ là 1.
c) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều hơn số lượng số chẵn là 1.
2. Một số quy luật của dãy số thường gặp:
a) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d.
b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự nhiên q (q > 1).
c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó.
d) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
e) Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
f) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó.
........
3. Dãy số cách đều:
a) Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1
(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
b) Tính tổng của dãy số cách đều:
Ví dụ 1
Một số ví dụ
 Tính số lượng số hạng của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, 16, , 94, 97, 100. 
Ta thấy: 
 4 - 1 = 3 7 - 4 = 3 
10 - 7 = 3
 ... 97 - 94 = 3 
 100 - 97 = 3
Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là: 
Ví dụ 2
(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)
 Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, , 94, 97, 100 là:
 = 1717
	IV. DẤU HIỆU CHIA HẾT
Kiến thức cần ghi nhớ
1. Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
2. Những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
3. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
4. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
5. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
6. Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
7. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
8. Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
9. Nếu một số có hiệu giữa tổng các chữ số hàng chẵn với tống các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11.
10. a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a- b (a > b) cũng chia hết cho m.
11. Cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng chia cho m cũng dư r.
12. a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a - b) chia hết cho m ( m > 0).
13. Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m >0).
14. Nếu a chia hết cho m và a cũng chia hết cho n (m, n > 0). Đồng thời m và n chỉ cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m ´ n.
15. Nếu a chia cho m dư m - 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m.
16. Nếu a chia cho m dư r thì a - r chia hết cho m (m > 1).
	V. SỐ VÀ CHỮ SỐ
Kiến thức cần ghi nhớ
1. Dùng 10 chữ số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.
2. Có 10 số có 1 chữ số: (Từ số 0 đến số 9)
Có 90 số có 2 chữ số: (từ số 10 đến số 99)
Có 900 số có 3 chữ số: (từ số 100 đến 999)
3. Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0. Không có số tự nhiên lớn nhất.
4. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị.
5. Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 gọi là số chẵn. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
6. Các số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 gọi là số lẻ. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
.......
IV. CÁC BÀI TOÁN DÙNG CHỮ THAY SỐ
Kiến thức cần ghi nhớ
1. Sử dụng cấu tạo thập phân của số
1.1. Phân tích làm rõ chữ số 
 = a ´ 10 + b
 = a ´ 100 + b ´ 10 + c
1.2. Phân tích làm rõ số 
	= + b
	 = + + c
	= + + + d = + 
	 ...
2. Sử dụng tính chất chẵn lẻ và chữ số tận cùng của số tự nhiên
- Số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là số chẵn.
- Số có tận cùng là: 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ.
- Tổng (hiệu) của 2 số chẵn là một số chẵn.
- Tổng (hiệu) của 2 số lẻ là một số chẵn.
- Tổng (hiệu) của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.
- Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
- Tích có ít nhất một thừa số chẵn là một số chẵn.
- Tích của a ´ a không thể có tận cùng là 2, 3, 7 hoặc 8.
 3. Sử dụng kỹ thuật tính khi thực hiện phép tính
Trong phép cộng, nếu cộng hai chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 1, nếu cộng 3 chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 2, 
 4. Xác định giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu thức.
- Một số có 2; 3; 4;  chữ số thì tổng các chữ số có giá trị nhỏ nhất là 1 và giá trị lớn nhất lần lượt là: 9 ´ 2 = 18; 9 ´ 3 = 27; 9 ´ 4 = 36; 
- Trong tổng (a + b) nếu thêm vào a bao nhiêu đơn vị và bớt đi ở b bấy nhiêu đơn vị (hoặc ngược lại) thì tổng vẫn không thay đổi. Do đó nếu (a + b) không đổi mà khi a đạt giá trị lớn nhất có thể thì b sẽ đạt giá trị nhỏ nhất có thể và ngược lại. Giá trị lớn nhất của a và b phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng (a + b).
- Trong một phép chia có dư thì số chia luôn lớn hơn số dư.
 5. Phối hợp nhiều cách giải.
Các bước giải:
- Đặt tên số phải tìm.
	- Thiết lập mối quan hệ giữa số mới và số cũ phải tìm.
	- Phân tích cấu tạo số để làm xuất hiện thừa số chung.
	- Khử các thừa số chung
	- Tìm số phải tìm dựa vào các dữ kiện còn lại.
 - Thử lại kết quả rồi trả lời hoặc đáp số.
Một số ví dụ
Ví dụ 1
	 Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho.
Bài giải
Bước 1 (tóm tắt bài toán)
 Gọi số có 2 chữ số phải tìm là (a > 0, a, b < 10)
 Theo bài ra ta có = a + b + a ´ b 
Bước 2: Phân tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau ở bên trái và bên phải dấu bằng, rồi đơn giản những thành phần giống nhau đó để có biểu thức đơn giản nhất.
 a ´ 10 + b = a + b + a ´ b 
 a ´ 10 = a + a ´ b (cùng bớt b)
 a ´ 10 = a ´ (1 + b) (Một số nhân với một tổng)
 10 = 1 + b (cùng chia cho a)
Bước 3: Tìm giá trị :
 b = 10 - 1
 b = 9
 Bước 4 : (Thử lại, kết luận, đáp số)
 Vậy chữ số hàng đơn vị của số đó là: 9.
Ví dụ 2
 Đáp số: 9
 Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó thì ta được một số lớn gấp 31 lần số cần tìm.
Bài giải
Bước 1: Gọi số phải tìm là (a > 0, a, b < 10)
 Khi viết thêm số 21 vào bên trái số ta được số mới là .
 Theo bài ra ta có: = 31 ´ 
Bước 2: 2100 + = 31 ´ (phân tích số = 2100 + )
	 2100 + = (30 + 1) ´ 
	 2100 + = 30 ´ + (một số nhân một tổng)
	 2100 = ´ 30 (cùng bớt )
Bước 3: = 2100 : 30 
 = 70.
Bước 4: Thử lại: 2170 : 70 = 31 (đúng)
 Đáp số: 70.
Ví dụ 3
 Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần chữ số hàng đơn vị của nó.
Bài giải
Bước 1: Gọi số phải tìm là (0 < a < 10, b < 10).
	Theo đề bài ta có: = 6 ´ b
Bước 2: Sử dụng tính chất chẵn lẻ hoặc chữ số tận cùng.
 Vì 6 ´ b là một số chẵn nên là một số chẵn.
 b > 0 nên b = 2, 4, 6 hoặc 8.
Bước 3: Tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn.
 Nếu b = 2 thì = 6 ´ 2 = 12. (chọn)
 Nếu b = 4 thì = 6 ´ 4 = 24. (chọn)
 Nếu b = 6 thì = 6 ´ 6 = 36. (chọn)
 Nếu b = 8 thì = 6 ´ 8 = 48. (chọn)
Bước 4: Vậy ta được 4 số thoả mãn đề bài là: 12, 24, 36, 48.
 Đáp số: 12, 24, 36, 48.
Ví dụ 4
 Tìm = + + 
Bài giải
	 = + + 
 = (+) + (tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng)
	- = +(tìm một số hạng của tổng)
 +
	= + 
Ta đặt tính như sau:
Nhìn vào cách đặt tính ta thấy phép cộng có nhớ sang hàng trăm. Mà đây là phép cộng hai số hạng nên hàng trăm của tổng chỉ có thể bằng 1. Vậy a = 1.
Với a = 1 thì ta có: 100 = 11 + 
	= 100 - 11
	= 89
 Vậy c = 8 ; b = 9. Ta có số = 198.
 Thử lại: 19 + 98 + 81 = 198 (đúng)
 Vậy = 198
 Đáp số: 198.
Ví dụ 5
 Tìm số có 4 chữ số, biết rằng nếu xoá đi chữ số ở hàng đơn vị và hàng chục thì số đó sẽ giảm đi 1188 đơn vị.
Bài giải
 Bước 1: (Tóm tắt) 
Gọi số phải tìm là (a > 0; a, b, c, d < 10)
 xoá đi ta được số mới là 
 Theo đề bài ra ta có: = 1188 + 
 1188
+
 Bước 2 : (Sử dụng kĩ thuật tính)
	 Ta đặt tính như sau:
 Trong phép cộng, khi cộng 2 chữ số trong cùng một hàng 
 thì có nhớ nhiều nhất là 1 nên chỉ có thể là 11 hoặc 12.
 - Nếu = 11 thì = 1188 + 11 = 1199.
 - Nếu = 12 thì = 1188 + 12 = 1200.
 Bước 3: (Kết luận và đáp số)
 Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn đề bài là: 1199 và 1200.
 Đáp số: 1199 và 1200.
Ví dụ 6
 Tìm số có 2 chữ số, biết rằng nếu số đó chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương là 6 và dư 5.
Bài giải
 Bước 1: (Tóm tắt)
 Gọi số phải tìm là (0 < a < 10, b < 10)
 Theo đề bài ra ta có: : b = 6 (dư 5) hay = b ´ 6 + 5.
 Bước 2: (Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất).
 Số chia luôn lớn hơn số dư nên b > 5 vậy 5 < b < 10.
 Nếu b đạt giá trị nhỏ nhất là 6 thì đạt giá trị nhỏ nhất là 6 ´ 6 + 5 = 41. Suy ra a 4 (lớn hơn hoặc bằng 4).
 Nếu b đạt giá trị lớn nhất là 9 thì đạt giá trị lớn nhất là 9 ´ 6 + 5 = 59. Suy ra a 5 (nhỏ hơn hoặc bằng 5). 
 Vậy a = 4 hoặc 5.
 +) Nếu a = 4 thì = b ´ 6 + 5.
 +) Nếu a = 5 thì = b ´ 6 + 5.
 Bước 3: Kết hợp cấu tạo thập phân của số.
+) Xét = b ´ 6 + 5
	 40 + b = b ´ 6 + 5
	 35 = b ´ 5 (cùng bớt b + 5)
	 b = 35 : 5 = 7
	 Ta được số: 47.
+) xét = b ´ 6 + 5
	 50 + b = b ´ 6 + 5
	 45 = b ´ 5 (cùng bớt b + 5)
	 b = 45 : 5 = 9
	 Ta được số: 59.
Bước 4: (Thử lại, kết luận, đáp số)
	 Thử lại: 7 ´ 6 + 5 = 47 (chọn)
	 9 ´ 6 + 5 = 59 (chọn)
 Đáp số: 47 và 59
Ví dụ 7
 Tìm số có 3 chữ số, biết chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị.
Bài giải
 Gọi số phải tìm là (0 < a < 10; b, c < 10).
 Vì a = 2 ´ b và b = 3 ´ c nên a = 2 ´ 3 ´ c = 6 ´ c, mà 0 < a < 10 nên 0 < 6 ´ c < 10. 
 Suy ra 0 < c < 2. Vậy c = 1.
	 Nếu c = 1 thì b = 1 ´ 3 = 3
	 a = 3 ´ 2 = 6
Ví dụ 8
 Đáp số: 631
 Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 555.
Bài giải
 Gọi số phải tìm là (a > 0; a, b, c < 10).
 Theo đầu bài ta có: + a + b + c = 555.
 Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy đây là phép cộng không có nhớ sang hàng trăm. 
 Vậy a = 5.
Khi đó ta có: + 5 + b + c = 555
 500 + + c + 5 + b + c = 555
 505 + + c + c = 555
 + c ´ 2 = 555 - 505
 + c ´ 2 = 50
 Nếu c đạt giá trị lớn nhất là 9 thì đạt giá trị nhỏ nhất là :
 50 - 9 ´ 2 = 32, do đó b > 2.
 Vì + c ´ 2 = 50 nên < 50 nên b < 5.
 Vì c ´ 2 và 50 đều là số chẵn nên b phải là số chẵn. 
 Do đó b = 4.
Khi đó ta có: 44 + c ´ 2 = 50
 c ´ 2 = 50 - 44 
 c ´ 2 = 6 
 c = 6 : 2 = 3 
 Vậy = 543
 Thử lại 543 + 5 + 4 + 3 = 555 (đúng).
 Đáp số: 543.
	Ngày 18.10. 2011
	Người thực hiện
	NguyễnBích Hồng