Tổng hợp kiến thức toán Lớp 5

KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
Ví dụ: 542 + 123 - 79
482 x 2 : 4
= 665 - 79
= 964 : 4
= 586
= 241
Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ
sau.
Ví dụ: 27 : 3 - 4 x 2
9 - 8
1
Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau
Ví dụ: 25 x (63 : 3 + 24 x 5)
10 -
25 x (21 + 120) =25 x 141 =3525
_______________________________________
KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
Những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho
125.
a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a- b (a
> b) cũng chia hết cho m.
Cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại
chia hết cho m thì tổng chia cho m cũng dư r.
a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a - b) chia hết cho m ( m > 0).
Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m
>0).
Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0). Đồng thời m và n chỉ
cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m x n.
Ví dụ: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 chỉ cùng chia hết cho 1)
nên 18 chia hết cho tích 2 x 9.
Nếu a chia cho m dư m - 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m.
Nếu a chia cho m dư 1 thì a - 1 chia hết cho m (m > 1).
_________________________________________
PHẦN BẢY
PHÂN SỐ - TỈ SỐ PHẦN TRĂM
PHÂN SỐ:
I.Khái niệm phân số :
1. Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a mẫu số bằng b (với a là số tự nhiên ,
b là số tự nhiên khác 0)ta viết	a .(đọc là: a phân b)
b
a gọi là: tử số (tử số a chỉ số phần được lấy đi)
b gọi là mẫu số (Mẫu số b chỉ số phần bằng nhau được chia ra trong một đơn vị)
Phân số a còn được hiểu là thương của phép chia a cho b b
2. Mỗi số tự nhiên a có thể coi là phân số có mẫu số bằng 1:	a = a
1
- 11 -
Phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1 có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1 và có tử số băng mẫu số thì phân số bằng 1.
Nếu nhân cả tử số và mấu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác
0 thì được một phân số bằng phân số đã cho
axn = a (n khác 0)
bxn	b
Nếu chia cả tử số và mấu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 gọi là rút gọn phân số thì được một phân số bằng phân số đã cho
a : n = a (n khác 0)
b : n	b
6.Phân số có mẫu số băng 10 ,100,1000,.gọi là phân số thập phân.
7.Nếu ta cộng thêm vào cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tư nhiên thì hiệu của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
8. Nếu ta trừ cả tử số và mẫu số của một phân số đi cùng một số tự nhiên thi hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
9. Nếu ta cộng thêm vào tử số đồng thời bớt đI ở mẫu số của một phân số với
cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
9. Nếu ta bớt đi ở tử số đồng thời thêm vào mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi.
II. TÍNH CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ
Khi ta cùng nhân hoặc cùng chia cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên lớn hơn 1, ta đươc một phân số mới bằng phân số ban đầu.
a
=
a × m
=
a : n
(với m # 0, n # 0)
b
b × nb : n
Biểu diễn phân số trên tia số:
Vẽ tia số, gốc là điểm 0, đoạn đơn vị là từ 0 đến 1.
Căn cứ vào mẫu số, chia đoạn đơn vị ra những phần bằng nhau.
Ghi phân số ứng với mỗi điểm chia (dựa vào tử số)
Trên tia số, các phân số bằng nhau được biểu diễn bởi một điểm duy nhất.
Trên tia số, với hai phân số khác nhau được biểu diễn bởi hai điểm khác nhau và
điểm biểu diễn phân số lớn ở bên phải điểm biểu diễn phân số nhỏ.
Vận dụng tính chất cơ bản của phân số:
Phân số tối giản:
Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không cùng chia hết cho một số
tự nhiên nào khác 1.
3.2. Rút gọn phân số
Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử số và mẫu số của phân số đó với cùng một số tự nhiên lớn hơn 1 mà tử số và mẫu số của phân số đó cùng chia hết cho số đó, để được phân số mới có tử số và mẫu số nhỏ hơn tử số và mẫu số ban đầu và có giá trị bằng phân số ban đầu.
Tổng quát:
= a : m = c (m > 1; a và b phải cùng chia hết cho m).
b	b : m	d
- 12 -
được gọi là phân số tối giản khi c và d chỉ cùng chia hết cho 1 (hay c và d
d
không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào khác 1)
Chú ý:
- Khi rút gọn phân số cần rút gọn đến phân số tối giản.
Ví dụ: Rút gọn phân số 54 .
72
Cách làm: 54 = 54 :18 = 3 .
72 :18 4
Rút gọn 1 phân số có thể được một phân số hay một số tự nhiên:
Ví dụ: Rút gọn phân số 72
12
72	72 :12	6
Cách làm:	=	=	= 6 .
- Đối với phân số lớn hơn 1 có thể viết dưới dạng hỗn số Ví dụ: 41 = 2 3 .
4
Dựa vào dấu hiệu chia hết hoặc phép thử chọn để tìm được một số tự nhiên nào đó (lớn
hơn 1) mà cả tử số và mẫu số của phân số đã cho đều chia hết cho số đó.
3.3. Quy đồng mẫu số - Quy đồng tử số:
a.Quy đồng mẫu s ố: Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất.
* Quy đồng mẫu số 2 phân số:
a
và
c
(b, d ≠ 0 )
b
b
Ta có:
a
=
axd
c
=
cxb
b
bxd
d
dxb
Ví dụ: Quy đồng mẫu số 2 phân số
2
và
3
.
7
8
Ta có:
2
=
2x8
=
16
;
3
=
3x7
=
21
7
7x8
56 8
8x7
56
Trường hợp mẫu số lớn hơn chia hết cho mẫu số bé hơn thì mẫu số chung chính là mẫu số lớn hơn.
Ví dụ: Quy đồng mẫu số 2 phân số 1 và 5
3	6
1	1 x 2	2
Cách làm: Vì 6 : 3 = 2 nên	=	=	.
Chú ý: Trước khi quy đồng mẫu số cần rút gọn các phân số thành phân số tối giản (nếu có thể)
b.Quy đồng tử s ố:Muốn quy đồng tử số của 2 phân số, ta nhân cả mấu số và tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử số của phân số thứ nhất.
* Quy đồng tử số 2 phân số: a và c (a, b, c, d ≠ 0 )
d
- 13 -
Ta có:
a
=
a x c
;
c
=
c
x b
.
b
b x c
d d
x b
Ví dụ: Quy đồng tử số 2 phân số 2 và 5 .
3	7
2
=
2x5
=
10
5
=
5 x 2
=
10
.
3 3x5 15
7 7 x 2 14
BỐN PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ 1. Phép cộng phân số
1.1. Cách cộng
* Hai phân số cùng mẫu:
+ c = a + c (b ≠ 0)
b	b	b
* Hai phân số khác mẫu số:
Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số.
* Cộng một số tự nhiên với một phân số.
Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho.
Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ:
2 + 3 = 8 + 3 = 11
4	4	4	4
1.2. Tính chất cơ bản của phép cộng
- Tính chất giao hoán:
+ c = c + a .
b	d	d	b
- Tính chất kết hợp:
a
c
m
a
c
m
+
+
=
+
+
b
d
n
b
d
n
- Tổng của một phân số và số 0:
a
+ 0 = 0 +
a
=
a
b
b
b
Phép trừ phân số
Cách trừ
* Hai phân số cùng mẫu:
+ c = a − c
b	b	b
* Hai phân số khác mẫu số:
Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số
Quy tắc cơ bản:
Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số:
a c
m a
c m
c
m
+
−
=
+
−
(Với
≥
)
b d
n b
d n
d
n
- 14 -
c
a
m
a
m
=
+
−
(Với
≥
)
d
b
n
b
n
- Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số:
a
c ma c
m
a m
c
−
+
=
−
−
=
−
−
b
d n
b d
n
b n
d
- Một phân số trừ đi số 0:
a − 0 = a
b	b
3. Phép nhân phân số
a	c	axc
3.1. Cách nhân:	x	=
3.2. Tính chất cơ bạn của phép nhân:
- Tính chất giao hoán:
a
x
c
=
c
x
a
b
d
d
b
- Tính chất kết hợp:
a
c
m
a
c
×
×
=
×
b
d
n
b
d

n
- Một tổng 2 phân số nhân với một phân số:
a
c
m
a
m
c
m
+
×
=
×
+
×
b
d
n
b
n
d
n
- Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số:
a
c
m
a
m
c
m
−
×
=
×
−
×
b
d
n
b
n
d
n
- Một phân số nhân với số 0:
x0 = 0x a = 0
bb
3.3. Chú ý:
- Thực hiện phép trừ 2 phân số:
1
−
1
=
2
−
1
=
1
=
1
1
2
2
2
2 1x2
1
−
1
=
3
−
2
=
1
=
1
2
3
6
6
6
2x3
1
−
1
=
4
−
3
=
1
=
1
3
4
12
12
12
3x4
1
−
1
=
n + 1
−
n
n n + 1
n × (n + 1) n × (n + 1)

Do đó:
1
−
1
=
1
1
2
1x2
Do đó:
1
−
1
=
1
2
3
2x3
Do đó:
1
−
1
=
1
3
4
3x4
=
1
Do đó:
1
−
1
=
1
n × (n + 1)
n n + 1
n × (n + 1)
- Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó.
Ví dụ: Tìm
1
của 6 ta lấy:
1
× 6 = 3
2
2
Tìm
1
của
1
ta lấy:
1
×
1
=
1
2
3
2
3
6
4. Phép chia phân số
- 15 -
a : c b d
a	c	axd
4.1. Cách làm:	:	=
4.2. Quy tắc cơ bản:
- Tích của 2 phân số chia cho một phân số.
a
c
m
a
c
m
x
:
=
x
:
b
d
n
b
d
n
- Một phân số chia cho một tích 2 phân số:
a
c
m
:
x
=
b
d
n

a
c
m
:
:
.
b
d
n
- Tổng 2 phân số chia cho một phân số:
a
c
m
a
m
a
m
+
:
=
:
+
:
b
d
n
b
n
b
n
- Hiệu 2 phân số chia cho một phân số:
a
c
m
a
m
c
m
−
:
=
:
−
:
b
d
n
b
n
d
n
- Số 0 chia cho một phân số:
0 :
a
= 0.
b
Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng.
Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết 2 số học sinh của lớp 5A là 10 em.
5
Bài giải
Số học sinh của lớp 5A là:
2
5
* Khi biết phân số a của x bằng c của y (a, b, c, d ≠ 0)
b	d
- Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy c : a
d	b
- Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy
Ví dụ: Biết 2 số nam bằng 3 số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ.
5
4
Bài giải
Tỉ số giữa nam và nữ là :
3
:
2
=
15
.
4
5
8
IV. SO SÁNH PHÂN SỐ
A. SO SÁNH HAI PHÂN CÙNG MẪU SỐ CÙNG TỬ SỐ Cách 1: Phân số có cùng mẫu số ( SGK4 và SGK5)Ta so sánh 2 tử số
. Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
16 -
. Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
# VD:
2
5
5
2
<
>
7
7
7
7
Phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn.
Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn.
Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
# VD:
2
2
5
5
>
;
<
5
7
9
6
B. SO SÁNH HAI PHÂN KHÁC MẪU SỐ
Cách 1: Quy đồng mẫu số rồi so sánh tử số ( SGK4 và SGK5)
. Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số,ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số
đó rồi so sánh các tử số của chúng
Bước 1: Quyđồng mẫu số
Bước 2: So sánh phân số vừa quy đồng
VD 1: So sánh
3
5
và
4
7
B1: Quy đồng mẫu số hai phân số
3
5
và
4
7
3
3x7
21
5
5 x 4
20
=
=
;
=
=
4
4x7
28
7
7 x 4
28
21
20
3
5
B2: Vì 21 > 20 nên:
>
Vậy:
>
28
28
4
7
VD 2:	: So sánh 1 và 1
3
B1 :
Ta có:
1
=
1× 3
=
3
1
=
1× 2
=
2
2
2 × 3
6
3 3 × 6
B2 :
Vì
3
>
2
nên
1
>
1
6
6
2
3
Cách 2: Quy đồng tử số rồi so sánh mẫu số. (SGK5)
. Muốn so sánh hai phân số khác tử số,ta có thể quy đồng tử số hai phân
số đó rồi so sánh các mẫu số của chúng.
Bước 1: Quy đồng tử số
Bước 2: So sánh phân số đã quy đồng tử số
5 VD 1: So Sánh hai phân số 4 và 7
B1: Quy đồng tử số hai phân số 3 và 5
4	7
33 x 515
5
5 x3
15
=
=
;
=
=
4
4 x 5
20
7
7 x 3
21
15
15
3
5
B2: Vì 20 < 21 nên
>
Vậy
>
20
21
4
7
- 17 -
VD 2: So sánh hai phân số 2 và 3 bằng cách quy đồng tử số
4
+) Ta có :
2
=
2 × 3
=
6
3
=
3 × 2
=
6
5 5 × 3 15
4 4 × 2 8
+) Vì
6
<
6
nên
2
<
3
15
8
5
4
Cách 3: So sánh phân số với 1. (SGK5)
Tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1
Tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1.
Tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1
# VD:
6
3
8
> 1;
< 1;
= 1
5
5
8
Cách 4 : So sánh hai phân s ốbằng cách so sánh phần bù đơn vị của phân
ố:
Ta so sánh phần bù đơn vị của phân s ốkhi hai phân s ốđó phảI:
Nhỏ hơn 1.
Mẫu 1- tử 1= mẫu 2 - tử 2 hoặc: (mẫu1- tử 1)=n× (mẫu 2- tử 2) Phân s ốnào có phần bù nhỏ hơn thì phân s ốđó lớn hơn.
* Phần bù lớn hơn thì phân s ốs ốbé hơn
1992	1975
VD: So sánh: 1995 và 1978
1992
3
Phân tích:
+
= 1
1995
1995
1975
3
+
= 1
1978
1978
3
3
1992
1975
Do
<
Nên
>
1995
1978
1995
1978
Vớ dụ 1: So sỏnh phõn số sau:
2000
và
2007
2003
2009
Hướng dẫn:
(nhận thấy: 2003 – 2000 = 2009 – 2007 = 2)
Giải
Ta cú:
1 −
2000
=
2003
−
2000
=
2
;
2003
2003
2003
2003
1 −
2007
=
2009
−
2007
=
2
2009
2009
2009
2009
Vậy
2
>
2
nờn
2000
<
2007
2003
2009
2003
2009
- 18 -
Vớ dụ 2: So sỏnh hai phõn số:
2003
và
2128
2005
2134
Hướng dẫn:
Nhận thấy: 3× (2005 - 2003) = 2134 – 2128
Giải
2003
=
2003 × 3
=
6009
2005
2005 × 3
6015
1 −
2003
= 1 −
6009
=
6015
−
6009
=
6
2005
6015
6015
6015
2015
1 −
2128
=
2134
−
2134
=
6
2134
2134
2128
2134
Vậy
6
>
6
nờn
2003
<
2128
2015
2134
2005
2134
(Hay nói cách khác : So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị của phân số
Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại.
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
2000
và
2001
2001
2002
Bước 1: (Tìm phần bù)
Ta có : 1 −
2000
=
1
1-
2001
=
1
2001
2001
2002
2002
Bước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)
Vì
1
>
1
nên
2000
<
2001
2001
2002
2001
2002
* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1
B = mẫu 2 - tử 2
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau:
Ví dụ:
2000
và
2001
.
2001
2003
+) Ta có:
2000
=
2000 × 2
=
4000
2001
2001 × 2
4002
1 -
4000
=
2
1-
2001
=
2
4002
4002
2003
2003
+)Vì
2
<
2
nên
4000
>
2001
hay
2000
>
2001
4002
2003
4002
2003
2001
2003
Cách 5: So sánh phân s ốbằng cách so sánh phần hơn của hai phân s ố. Ta so sánh phấn hơn khi hai phân s ốso sánh phải
- 19 -
*Lớn hơn 1.
*Tử 1 – mẫu 1 = Tử 2 – mẫu 2 hoặc: (Tử 1- mãu 1)=n × (tử 2- mẫu 2)
*Phân s ốnào có phân hơn lớn hơn thì phân s ốđó lớn hơn.
Lưu ý: Đem phân số trừ đi cho 1.( Với những phân số lớn hơn 1)
. Đem phân số cùng trừ đi cho 1.
Nếu kết quả lớn hơn thì phân số lớn hơn.
Nếu kết quả bé hơn thì phân số bé hơn.
Vớ dụ 1: So sỏnh hai phõn số:
2001
và
2007
1999
2005
Hướng dẫn
Nhận thấy: 2001 – 1999 = 2007 – 2005
Giải
2001
− 1 =
2001
−
1999
=
2
1999
1999
1999
1999
2009
− 1 =
2009
−
2007
=
2
2007
2007
2007
2007
Vậy
2
>
2
nờn
2001
>
2009
1999
2007
1999
2007
Vý dụ 2: So sỏnh hai phõn số:
2005
và
2048
2001
2028
Hướng dẫn
Nhạn thấy: 5× (2005 - 2001) = 2048 – 2028
Giải
2005
=
2005 × 5
=
8025
2001
2001× 5
8005
2005
− 1 =
8025
− 1 =
8025
−
8005
=
20
2001
8005
8005
8005
8005
2048
− 1 =
2048
−
2028
=
20
2028
2028
2028
2028
Vậy
20
<
20
nờn
2005
<
2048
8005
2028
2001
2028
(Hay nói cách khác :So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số:
Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.)
Ví dụ: So sánh: 2001 và 2002
2000	2001
Bước 1: Tìm phần hơn
Ta có:
2001
− 1 =
1
2002
− 1 =
1
2000
2000
2001
2001
Bươc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
- 20 -
Vì
1
>
1
nên
2001
>
2002
2000
2001
2000
2001
* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2
Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C
D ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 2001 và 2003
2000
2001
Bước1: Ta có:
2001
=
2001 × 2
=
4002
2000
2000 × 2 4000
4002
− 1 =
2
2003
− 1 =
2
4000
4000
2001
2001
Bước 2: Vì
2
<
2
nên
4002
<
2003
hay
2001
<
2003
4000
2001
4000
2001
2000
2001
Cách 6: So sánh phân số bằng cách so sánh cả hai phân số với phân số trung gian
Ví dụ 1: So sánh 3 và 4
9
Bước 1: Ta có:
3
>
3
=
1
4
<
4
=
1
5
6
2
9
8
2
Bước 2: Vì 3 > 1 > 4 nên 3 > 4
5	2	9	5	9
Ví dụ 2: So sánh
19
và
31
Bước 1: Ta có:
60
90
19
<
20
=
1
31
>
30
=
1
60
60
3
90
90
3
Bước 2: Vì
19
<
1
<
31
nên
19
<
31
60
3
90
60
90
Ví dụ 3: So sánh
101
và
100
100
101
Vì
101
> 1 >
100
nên
101
>
100
100
101
100
101
Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.
40 và 41
57	55
Bài giải
+) Ta chọn phân số trung gian là : 40
55
+) Ta có: 40 < 40 < 41
57	55	55
- 21 -
+) Vậy 40 < 41
55
* Cách chọn phân số trung gian :
Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những
phân số dễ tìm được như: 1,2,3 hay 1 , 1 , 1 ,... (ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương 2 3 4
của mẫu số và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1.
Vớ dụ: So sỏnh hai phõn số:	23 và 215
57	675
Hướng dẫn
Nhận thấy: 57: 23 = 2 (dư 11)
675 : 215 = 3 (dư 30)
Vậy ta chọn phõn số
1
la phõn số trung gian.
3
Giải
23
>
1
;
215
<
1
57
3
675
3
Vậy
23
>
1
>
215
nờn
23
>
215
57
3
675
57
675
- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số
a
và
c
(a, b, c, d khác 0)
b
d
- Nếu a > c còn b d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là a (hoặc c )
b
Vớ dụ 2: So sỏnh hai phõn số:
40
và
47
57
55
Hướng dẫn
Nhận thấy: 40 55 nờn ta chọn phõn số trung gian là:
Giải
40
<
40
;
47
>
40
57
55
55
55
Vậy
40
<
40
<
47
nờn
40
<
47
57
55
55
57
55

40
55
Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối
quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp 2 hoặc 3lần,hay bằng 1 , 2 , 4 ,... ) thì ta 2 3 5
nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai
- 22 -
tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
Ví dụ: So sánh hai phân số 15 và	70
23	117
Bước 1: Ta có: 15 = 15 × 5 = 75
23	23 × 5	115
Ta so sánh 70	với 75
117	115
Bước 2: Chọn phân số trung gian là:
Bước 3: Vì
70
<
70
<
75
nên
70
<
117
115
115
117

70
115
75
hay
70
<
15
115
117
23
Cách 7: Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta được cùng thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau:
47
và
65
.
15
21
Ta có:
47
= 3
2
65
= 3
2
15
15
21
21
Vì
2
>
2
nên 3
2
> 3
2
hay
47
>
65
15
21
15
21
15
21
Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta cũng đưa hai phân số về hỗn số để so sánh.
Ví dụ: So sánh 41 và 23
11
10
Ta có:
41
= 3
8
23
= 2
3
11
11
10
10
Vì 3 > 2 nên 3
8
> 2
3
hay
41
>
23
11
10
11
10
Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau
Ví dụ: So sánh
47
và
65
.
15
21
+) Ta có:
47
x 3 =
47
= 9
2
65
× 3 =
65
= 9
2
15
5
5
21
7
7
+) Vì
2
>
2
nên 9
2
> 9
2
hay
47
>
65
5
7
5
7
15
21
Cách 8: Đưa về số thập phân
Ta chia tử số cho mẫu số rồi so sánh hai thương mới tìm được.
23 -
# VD: So sánh
5
7
và
7
9
5
7
Phân tích
= 0,714 ;
= 0,777
7
9
5
7
Vì
0,714 < 0,777 nên
<
7
9
Cách 9: Thực hiện phép chia phân số để so sánh.
*Lấy phân số thứ nhất chia cho phân số thứ hai nếu :
- Nếu thương tìm được bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau;
-Thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai -Thương tìm được lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai.
Vớ dụ: So sỏnh hai phõn số:
5
và
7
7
10
Giải
Ta cú:
5
:
7
=
5
×
10
=
50
< 1
9
10
9
7
63
Vậy 5 < 7
10
Lưu ý: Lấy hai phân số chia cho nhau.
Nếu kết quả lớn hơn 1 thì số bị chia lớn hơn số chia.
Nếu kết quả bé hơn 1 thì số bị chia bé hơn số chia.
VD: So sánh
4
5
và
5
6
4
5
4
6
24
Phân tích 1:
:
=
x
=
< 1
5
6
5
5
25
Vậy
4
5
Hoặc
<
5
6
5
4
5
5
25
Phân tích 2:
:
=
x
=
> 1
6
5
6
4
24
Vậy
4
5
<
5
6
Dạng 4: Các bài toán điển hình về phân số:
Vd 1: Trung bình cộng của 3 phân số = 13 . Trung bình cộng của phân số
36
thứ nhất và phân số thứ hai là	5 , của phân số thứ hai và phân số thứ ba 12
là 7 . Tìm 3 phân số đó.
24
- 24 -
Hd giải: Vận dụng kiến thức về số trung bình cộng để giải.
Tổng của 3 phân số là
13
x 3 =
39
=
13
36
36
12
Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai là: 5 x 2 = 10 12 12
13 12	1
Phân số thứ 3 là:	−	=
Tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là: 7 x 2 = 70 22 12
13	7	1
Phân số thứ nhất là:	−	=
7	3	1
Phân số thứ hai là:	−	=
1	1	1
Đáp số:	,	và
Vd 2: Một người bán cam lần thứ nhất người đó bán 1 số cam. Lần thứ hai
3
bán 2 số cam thì còn lại 12 quả. Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả cam?
5
Hd giải:
1 2	11
Cả hai lần người đó bán số phần cam là:	+	=	(số cam)
11	4
12 quả cam ứng với số phần cam là:1−	=	(số cam)
Người đó đem bán số quả cam là:12: 4 = 45 (quả cam)
15
Đáp số: 45 quả cam.
Vd 3: Người công nhân thứ nhất sửa xong một đoạn đư