Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học sinh giỏi Lớp 5

nay bằng tuổi em sau này.
	Hiệu số tuổi của 2 chị em hiện nay và sau này đều bằng 6 tuổi. 
Tuổi của em hiện nay + 6 tuổi = Tuổi của em sau này
Tuổi của em sau này + 6 tuổi = Tuổi của chị sau này
Do đó suy ra: 
Suy ra: Tuổi của em hiện nay + 12 tuổi = Tuổi của chị sau này
Mà ta biết rằng: Tuổi của chị sau này gấp 3 lần tuổi em hiện nay. 
	Vậy suy ra: Tuổi của em hiện nay + 12 tuổi = 3 × Tuổi của em hiện nay
	Þ 2 × Tuổi của em hiện nay = 12 (tuổi)
Þ Tuổi của em hiện nay là: 12 : 2 = 6 (tuổi) 
 	 Tuổi của chị hiện nay là: 6 + 6 = 12 (tuổi) 
Bài 21:
Tính tuổi của hai anh em hiện nay. Biết rằng 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 2 tuổi và 50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi
 Hd:
	Theo bài ra ta có:
	50% tuổi anh hơn 37,5% tuổi em là 7 tuổi
Þ 100% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 14 tuổi
Mà 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 2 tuổi
Þ 100% - 62,5% = 37,5% tuổi anh là 14- 2 = 12 tuổi
Vậy tuổi anh là: 12 : 37,5 × 100 = 32 (tuổi)
75% tuổi em hiện nay là: 32 - 14 = 18 (tuổi) 
Tuổi em hiện nay là: 18 : 75 × 100 = 24 (tuổi)
§ 4. TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
Bài 1:
Hai thành phố cách nhau 186 km. Lúc 6 giờ một người đi xe máy từ A với vận tốc 30 km/giờ bề B, lúc 7 giờ một người đi xe máy từ B với vận tốc 35 km/giờ về A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai người gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km?
30 km
156 km
C
B
A
 Hd: 
Khi người thứ 2 xuất phát thì người thứ nhất cách B là 186 – 30 = 156 (km).
Quãng đường 2 người đi được trong 1 giờ là 30 + 35 = 65 (km).
Thời gian để 2 người gặp nhau là phút. 
7h + 2h 24 = 9h 24. Vậy hai người gặp nhau lúc 9 giờ 24 phút.
Quãng đường từ A đến địa điểm gặp nhau là .
Bài 2:
 	Một ô tô chạy từ A đến B. Nếu chạy mỗi giờ 60 km thì ô tô sẽ đến B lúc 14 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 40 km thì ô tô sẽ đến B lúc 16 giờ. Hãy tính quãng đường AB và tìm xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 15 giờ?
 Hd:
Do trên cùng một quãng đường vận tốc tăng lên bao nhiêu lần thì thời gian giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có: Thời gian đi với vận tốc 40 km/h gấp 1, 5 lần thời gian đi với vận tốc 40 km/h. Ta có sơ đồ sau: 
2 giờ
Thời gian đi với vận tốc 60 km/h:
Thời gian đi với vận tốc 40 km/h:
Quãng đường AB dài là 60 ´ 2 ´ 2 = 240 (km).
Để đến B lúc 15 giờ, mỗi ôtô phải chạy 240 : 5 = 48 (km)
Bài 3:
Một ô tô chạy từ A đến B mất 2 giờ. Một xe máy chạy từ B đến A mất 3 giờ. Hãy tính quãng đường AB, biết vận tốc của ô tô hơn vận tốc của xe máy là 20km/giờ. Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì chúng gặp nhau tại cùng một địa điểm cách A bao nhiêu km? 
 Hd:
 Tỉ số thời gian của ô tô và xe máy là . Do trên cùng một quãng đường thời gian tăng lên bao nhiêu lần thì vận tốc giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có sơ đồ: 
20 km/h
Vận tốc xe máy:
Vận tốc ô tô: 
Vận tốc ô tô là : 20 ´ 3 = 60 (km/giờ).
Vận tốc xe máy là 60 – 20 = 40 (km/giờ). 
Quãng đường AB là 60 ´ 2 = 120 (km).
Nếu hai xe khởi hành cùng một lúc thì sẽ gặp nhau sau một thời gian là 
 120 : (60 + 40) = 1,2 (giờ)
Địa điểm gặp nhau cách A là 60 ´ 1,2 = 70 (km). 
Bài 4:
Một ô tô chạy từ A đến B. Nếu chạy mỗi giờ 55 km thì ô tô sẽ đến B lúc 15 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 45 km thì ô tô sẽ đến B lúc 17 giờ. Hãy tính quãng đường AB và tìm xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu km để đến B lúc 16 giờ?
 Hd:
Tỉ số vận tốc của ô tô và xe máy đi trên quãng đường AB là . Do trên cùng một quãng đường vận tốc tăng lên bao nhiêu lần thì thời gian giảm đi bấy nhiêu lần nên ta có: Thời gian đi với vận tốc 45 km/h bằng lần thời gian đi với vận tốc 55 km/h . Do đó ta có sơ đồ: 
2 giờ
Thời gian đi với vận tốc 55 km/h:
Thời gian đi với vận tốc 45 km/h:
Quãng đường AB dài là 55 ´ (2 : 2) ´ 9 = 495 (km).
Để đến B lúc 15 giờ, mỗi ô tô phải chạy 495 : 10 = 49,5 (km). 
Bài 5:
Một ô tô đi từ A qua B đến C hết 8 giờ. Thời gian đi từ A đến B gấp 3 lần đi từ B đến C và quãng đường từ A đến B dài hơn từ B đến C là 130 km. Biết rằng muốn đi được đúng thời gian đã định, từ B đến C ô tô phải tăng vận tốc thêm 5 km một giờ. Hỏi quãng đường BC dài bao nhiêu km?
 Hd:
v1
8 giờ
v2= v1+5km
B
C
A
Theo bài ra ta có:Trên quãng đường AB = BC + 130 km ô tô đi với vận tốc v1 trong 6 giờ, còn trên quãng đường BC ô tô đi với vận tốc v2 trong 2 giờ.
 Do đó suy ra ô tô đi với vận tốc v1 trong 2 giờ đi được quãng đường bằng quãng đường BC bớt đi là: 5 ´ 2 = 10 km 
Vậy ô tô đi với vận tốc v1 trong 4 giờ đi được quãng đường tương ứng là: 
130 + 10 = 140 (km).
Vận tốc ban đầu của ô tô là: 140 : 4 = 35 (km/h)
Quãng đường BC là 80 km. 
Bài 6:
Lúc 5 giờ 30 phút, một người đi xe máy khởi hành từ tỉnh A với vận tốc 40km/giờ và đến tỉnh B lúc 8 giờ 15 phút, người đó nghỉ lại tỉnh B là 30 phút rồi quay về tỉnh A với vận tốc cũ. Lúc 7 giờ 45 phút một người khác đi xe đạp khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 10km/giờ. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ và chỗ gặp nhau cách tỉnh B bao nhiêu km? 
 Hd:
Thời gian người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B là:
 8 giờ 15 phút - 5 giờ 30 phút = 2 giờ 45 phút = 2,75 giờ.
Quãng đườmg từ A đến B là: 40 ´ 2,75 = 110 (km)
Người đi xe máy rời tỉnh B lúc 8 giờ 15 phút + 30 phút = 8 giờ 45 phút
Thời gian người đi xe đạp đi từ 7 giờ 45 phút đến 8 giờ 45 phút là:
 8 giờ 45 phút - 7 giờ 45 phút = 1 giờ. 
Đến 8 giờ 45 phút người đi xe đạp đã đi được 10km.
Lúc 8 giờ 45 phút hai người cách nhau là 110 – 10 = 100 (km).
Thời gian hai người gặp nhau là: 100 : (40 + 10) = 2 (giờ)
Hai người gặp nhau lúc 8 giờ 45 phút + 2 = 10 giờ 45 phút. 
Chỗ gặp nhau cách B là: 40 × 2 = 80 (km). 
Bài 7:
Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 3 giờ 20 phút. Xe thứ hai đi từ B đến A hết 2 giờ 48 phút. Biết rằng hai xe cùng khởi hành và sau 1 giờ 15 phút thì chúng còn cách nhau 25 km. Tính vận tốc mỗi xe. 
 Hd:
Đổi đơn vị thời gian: 3 giờ 20 phút = 200 phút = 10/3 giờ; 2 giờ 48 phút = 168 phút = 14/5 giờ; 1 giờ 15 phút = 75 phút;
+ Tính phân số chỉ phần đường đi được sau 75 phút của hai xe là:
 (quãng đường AB). 
+ Tính phân số chỉ phần đường còn lại là (quãng đường AB).
+ Vì quãng đường AB biểu thị 25km nên quãng đường AB dài là:
25 : 5 ´ 28 = 140 (km).
+ Vận tốc của xe thứ nhất là .
+ Vận tốc của xe thứ hai là . 
Bài 8:
Hai bạn Việt và Nam đi xe đạp xuất phát cùng lúc từ A đến B, Việt đi với vận tốc 12 km/giờ, Nam đi với vận tốc 10 km/giờ. Đi được 1, 5 giờ, để đợi Nam, Việt đã giảm vận tốc xuống còn 7 km/giờ. Tính quãng đường AB, biết rằng lúc gặp nhau cũng là lúc Việt và Nam cùng đến B.
 Hd:
Sau 1,5 giờ Việt cách xa Nam là 12 ´ 1, 5 - 10 ´ 1, 5 = 18 – 15 = 3 (km).
Lúc đó Việt đi với vận tốc 7 km/giờ và Nam đi với vận tốc 10 km/giờ nên thời gian chuyển động để Nam đuổi kịp Việt là 3 : (10 – 7) = 1 (giờ).
Quãng đường AB dài là 18 + 7 ´ 1 = 25 (km). 
Bài 9:
Một ca nô xuôi một khúc sông hết 3 giờ và ngược khúc sông đó hết 5 giờ. Tính chiều dài khúc sông, biết vận tốc dòng nước là 50 m/ ph.
 Hd:
Ta thấy: Mỗi giờ ca nô xuôi dòng được khúc sông và mỗi giờ ca nô ngược dòng được khúc sông. Mỗi giờ dòng nước xuôi được (khúc sông)
Thời gian dòng nước xuôi từ A đến B là (giờ)
Vì 50m/ph = 3km/h nên khúc sông dài là 3 ´ 15 = 45(km). 
Bài 10:
Một đoàn tàu chạy ngang qua một cột điện hết 10 giây. Cùng với vận tốc đó, đoàn tàu chạy ngang qua một đường hầm dài 210 m hết 52 giây. Tính chiều dài và vận tốc tàu.
 Hd:
Trong khoảng thời gian 10 giây tàu đi được quãng đường là chiều dài tàu
Trong khoảng thời gian 52 giây tàu đi được quãng đường là chiều dài tàu cộng với chiều dài hầm(210 m).
Vậy thời gian để tàu đi được quãng đường 210 m là:
 52 – 8 = 42 (giây). 
Vận tốc tàu là: 210 : 42 = 5(m/s) (= 18km/h)
Chiều dài đoàn tàu là: 5 ´ 10 = 40 (m). 
Bài 11:
Một hành khách ngồi trên một chiếc xe lửa đang chay với vận tốc 36km/h nhìn thấy một chiếc xe lửa tốc hành dài 75 mét đi ngược chiều qua mặt mình hết 3 giây. Tính vận tốc của xe lửa tốc hành.
3 s
3 s
75 m
30 m
 Hd:
	Đổi đơn vị: 36 km/h = 10 m/s 
Trong khoảng thời gian 3 giây người ngồi trên xe lửa đi được quãng đường là:
 	10 ´ 3 = 30 (m)
Trong khoảng thời gian 3 giây xe lửa tốc hành đi được quãng đường là chiều dài tàu trừ đi 30 m.Vậy vận tốc của xe lửa tốc hành là:
 (75 – 30) : 3 = 15(m/s) = 54( km/h)
Bài 12:
	Một xe lửa chạy qua một cầu dài 181 mét hết 47 giây. Biết cùng vận tốc ấy xe lửa lướt qua một người đi bộ ngược chiều trong 9 giây. Tính vận tốc và chiều dài xe lửa, biết vận tốc người đi bộ là 1 m/s.
47 s
181 m
 Hd:
9 s
9 s
9 m
Trong khoảng thời gian 47 giây xe lửa đi được quãng đường là chiều dài xe lửa cộng chiều dài cầu (181m)	
Trong khoảng thời gian 9 giây xe lửa đi được quãng đường là chiều dài tàu bớt đi 9 m, tức là nếu thêm vào 9 m thì xe lửa đi được quãng đường là chiều dài xe lửa.
Vậy thời gian để tàu đi được quãng đường (181 + 9) = 190 m là: 47 – 9 = 38 (s)
Vận tốc của xe lửa là: 190 : 38 = 5 (m/s) = 18 (km/h)
Chiều dài của xe lửa là: 5 ´ 9 = 45 (m) 
Bài 13:
	Một người đi xe máy từ A tới B hết một khoảng thời gian dự định nào đó. Biết rằng nếu đi với vận tốc 30 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu đi với vận tốc 20 km/h thì đến B chậm 1 giờ. Tính quãng đường AB?
v1=30 km
? km
20 km
30 km
v2=20 km
A
B
C
D
 Hd:
	Trên cùng quãng đường AB ta có thời gian tỷ lệ nghịch với vận tốc:
Mà dễ thấy: t2 – t1 = 2 (h). Đến đây đưa về bài toán tìm 2 số có tỷ số là và có hiệu bằng 2. Suy ra được quãng đường AB là: 120 km. 
Bài 14:
	Một ôtô đi từ thành phố A tới thành phố B hết 10 giờ. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc 40 km/h, khi tới vị trí còn cách 100 km nữa được nửa quãng đường thì ôtô tăng vận tốc lên thành 60 km/h để về đến B đúng hẹn. Tính vận tốc trung bình của ôtô đi từ A tới B?
B
? km
100 km
A
C
D
100 km
E
t1, v1 =40km/h
t2, v2 =60km/h
 Hd:
	Gọi C là điểm giữa quãng đường AB, D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC = 100 km. Lấy điểm E thuộc đoạn CB sao cho CE = 100 km.
	Dễ dàng suy ra AD = EB. Trên 2 quãng đường bằng nhau này ta có thời gian tỷ lệ nghịch với vận tốc, tức là: 
Mà dễ thấy: . Từ đây dễ dàng tính được t1, t2 , suy ra quãng đường AD và quãng đường AB bằng 520 km. 
Bài 15:
	Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước sau 12 giờ đầy bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ vòi 1 chảy vào bể bằng 1, 5 lần lượng nước vòi 2 chảy vào bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
 Hd:
	Theo bài ra ta có: + v1 = 1, 5 ´ v2 
	 + v1 + v2 = 
	Từ đây dễ dàng tính được (bể)và (bể)
	Vậy suy ra vòi 1chảy một mình trong 20 giờ sẽ đầy bể, vòi 2 chảy một mình trong 30 giờ sẽ đầy bể. 
Bài 16:
	Một vòi nước chảy vào 1 bể không chứa nước, cùng lúc đó có vòi chảy ra. Biết rằng lượng nước mỗi giờ vòi chảy ra bằng lần lượng nước vòi chảy vào bể và sau 5 giờ lượng nước trong bể đạt tới dung tích của bể. Hỏi nếu không có vòi chảy ra mà chỉ có vòi chảy vào thì trong thời gian bao lâu sẽ đầy bể?
 Hd:
Theo bài ra ta có: + vra = ´ vvào 
	 + vvào - vra = 
	Từ đây dễ dàng tính được vvào = ´ 5 = (bể)
	Vậy suy ra vòi vào chảy một mình trong 8 giờ sẽ đầy bể. 
Bài 17:
	Người ta dùng hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước. Nếu cho 2 vòi cùng chảy vào bể thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu cho vòi 1 chảy trong 2 giờ và vòi 2 chảy trong 5 giờ thì cũng đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
 Hd:
	Theo bài ra ta có tổng vận tốc của 2 vòi là: v1 + v2 = (bể) 
	Lượng nước 2 vòi cùng chảy trong 2 giờ là: (bể)
Lượng nước vòi 2 chảy trong 3 giờ là: (bể)
Vận tốc của vòi 2 là: (bể)
Vận tốc của vòi 1 là: (bể)
Bài 18:
	Một chiếc đồng hồ 3 kim để bàn đang chạy, ta thấy lúc 1 giờ đúng thì kim giờ trỏ số 1 còn kim phút trỏ số 12. Hỏi khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút trùng nhau? Cho biết thời điểm đó là mấy giờ?
 Hd:
	Gọi vận tốc kim giờ là vh, vận tốc kim phút là vf, ta có: vh = vòng/h, vf = 1 vòng/h
	Khoảng cách giữa 2 kim lúc 1 giờ đúng là vòng
	Vậy khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút trùng nhau là:
	 (giờ)
Thời điểm gần nhất để 2 kim giờ và kim phút trùng nhau là:
	 (giờ)
Bài 19:
	Một chiếc đồng hồ 3 kim để bàn đang chạy, ta thấy lúc 1 giờ đúng thì kim giờ trỏ số 1 còn kim phút trỏ số 12. Hỏi khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút vuông góc với nhau? Cho biết thời điểm đó là mấy giờ?
 Hd:
	Gọi vận tốc kim giờ là vh, vận tốc kim phút là vf, ta có: vh = vòng/h, vf = 1 vòng/h
	Khoảng cách giữa 2 kim lúc 1 giờ đúng là vòng
	Khoảng cách giữa 2 kim lúc 2 kim vuông góc là vòng
B
1/12
A
D
C
1/4
E
Vậy khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút vuông góc với nhau tính từ lúc trùng nhau là:
	 (giờ)
Vậy khoảng thời gian gần nhất để 2 kim giờ và kim phút vuông góc với nhau tính từ lúc 1 giờ đúng là:
	 (giờ)
Thời điểm gần nhất để 2 kim giờ và kim phút vuông góc với nhau là:
	 (giờ)
Bài 20:
	Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km. Đi từ A đến B ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, còn ô tô đi hết 2 giờ.Tính vận tốc của ca nô và ô tô, biết vận tốc của ca nô kém vận tốc ô tô 17 km/h.
 Hd:
10 km
Đường bộ: 
A
B
C
A
Đường sông:
B
2 giờ
Ô tô
Ca nô
2 × 17 = 34 km
1 giờ 20
	Sau 2 giờ ca nô tới vị trí còn cách B tính theo đường bộ là:
	17 × 2 = 34 (km)
Sau 2 giờ ca nô tới vị trí còn cách B tính theo đường sông là:
	34 - 10 = 24 (km)
Vận tốc của ca nô là:
	24 : 1 giờ 20 = 18 (km/h)
Bài 21:
	Anh Hùng đi xe đạp từ nhà đến Hà Nội theo con đường dài 48 km. Lúc trở về anh Hùng đi theo đường tắt dài 35 km. Đường tắt khó đi nên vận tốc lúc về chỉ bằng vận tốc lúc đi, tuy nhiên thời gian lúc về vẫn ít hơn thời gian lúc đi là giờ. Tính vận tốc lúc đi của anh Hùng?
13 km
Đg lúc đi: 
A
B
A
Đg lúc về :
B
48 km
35 km
 Hd:
	Quy về cùng thời gian lúc về của anh Hùng:
	+ Thời gian lúc về, vận tốc lúc về thì anh Hùng đi được quãng đường 35 km.
+ Thời gian lúc về, vận tốc đi (vận tốc lúc về bằng vận tốc lúc đi) thì anh Hùng đi được quãng đường bằng bao nhiêu km?
Vì trong cùng thời gian thì quãng đường tỷ lệ thuận với vận tốc, nên ta có quãng đường anh Hùng đi được trong cùng thời gian lúc về và với vận tốc lúc đi là:
: = 42 (km)
Vận tốc của anh Hùng lúc về là:
 (48 - 42) : = 12 (km/h)	
Bài 22:
Đg anh T: 
A
B
A
Đg anh H:
B
220 km
175 km
	Nhà anh H cách trung tâm thành phố 175 km, nhà anh T cách trung tâm thành phố 220 km. Biết vận tốc tới trung tâm thành phố của anh H chỉ bằng vận tốc của anh T, tuy nhiên thời gian tới trung tâm thành phố của anh H vẫn ít hơn thời gian gian tới trung tâm thành phố của anh T là giờ. Tính vận tốc tới trung tâm thành phố của anh H là bao nhiêu?
 Hd:
	Quy về cùng thời gian lúc về của anh H:
	+ Thời gian của H, vận tốc của anh H thì anh H đi được quãng đường 175 km.
+ Thời gian của H, vận tốc của anh T (vận tốc của anh H bằng vận tốc của anh T) thì anh T đi được quãng đường bằng bao nhiêu km?
Vì trong cùng thời gian thì quãng đường tỷ lệ thuận với vận tốc, nên ta có quãng đường anh T đi được trong cùng thời gian của anh H và với vận tốc của anh T là:
175 : = 200 (km)
Vận tốc của anh Hùng lúc về là:
 (220 - 200) : = 40 (km/h)
Bài 23:
	Một máy bay dự trữ nhiên liệu để bay trong 6 giờ với vận tốc 330 km/h khi trời không có gió. Khi cất cánh thì trời có gió với vận tốc gió là 30 km/h. Biết rằng khi đi trời ngược gió và khi quay trở về sân bay thì trời xuôi gió. Hỏi khoảng cách mà máy bay đã tới cánh sân bay bao nhiêu km để khi quay về tới sân bay lúc cất cánh thì vừa hết nhiên liệu? 
Vve=330 km
? km
Vđi =330 km
A
B
 Hd:
	Theo bài ra ta có:	tđi + tve = 6 (giờ)
	Đến đây ta đã đưa về dạng toán tìm 2 số biết tổng bằng 6 và tỷ số bằng . Do đó ta suy ra thời gian lúc đi là:
	6 : (6 + 5) × 6 = (giờ)
	Quãng đường mà máy bay đi được là:
	300 × = (km)
Bài 24:
	Một đội máy cày dự định cày một diện tích ruộng theo kế hoạch với vận tốc 40 ha mỗi ngày. Khi thực hiện đội đã cày 52 ha mỗi ngày, vì vậy đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày và còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng phải cày theo kế hoạch? 
? ha
t, 52 ha
A
B
2 ngày + 4 ha
C
 Hd:
t, 40 ha
	Theo bài ra ta có:
	Diện tích đội đã cày hết thời gian dự định vượt so với diện tích theo kế hoạch là:
	52 × 2 + 4 = 108 (ha)
	Diện tích trong mỗi ngày đội đã cày hơn so với dự định là:
	52 – 40 = 12 (ha)
	Thời gian mà đội dự định cày xong diện tích ruộng theo kế hoạch là:
	108 : 12 = 9 (ngày) 
	Diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch là:
	40 × 9 = 360 (ha)
Cách giải khác:
	Thời gian dự định t1– vận tốc dự định v1–diện tích ruộng theo kế hoạch
	Thời gian thực hiện t2–vận tốc thực hiện v2–diện tích ruộng theo kế hoạch
	Do đó suy ra: 
	Mà ta lại dễ thấy: t1 = t2 + . 
Đến đây đưa về dạng toán tìm 2 số biết tỷ số và hiệu của chúng.
Bài 25:
Một chiếc xe lửa chạy qua mặt một người đi xe đạp cùng chiều có vận tốc 18 km/h hết 24 giây và qua mặt một người đi xe đạp ngược chiều có vận tốc 18 km/h hết 8 giây. Tính vận tốc của xe lửa.
8 s
8 s
24 s
24 s
Ngược chiều:
Cùng chiều:
 Hd:
	Đổi đơn vị: 18 km/h = 5 m/s 
Trong khoảng thời gian 24 giây người ngồi trên xe lửa đi được quãng đường là:
 	Chiều dài xe lửa + ( 5 ´ 24) = Chiều dài xe lửa + 120 (m)
Trong khoảng thời gian 8 giây xe lửa tốc hành đi được quãng đường là:
 Chiều dài xe lửa - ( 5 ´ 8) = Chiều dài xe lửa - 40 (m)
	Þ Thời gian xe lửa đi được quãng đường 120 + 40 = 160 (m) là:
 24 – 8 = 16(s) 
	Vận tốc của xe lửa là:
 160 : 16 = 10(m/s) = 36 (km/h)
Bài 26:
Hai địa điểm A, B cách nhau 72 km. Một ô tô đi từ A về B và một xe đạp đi từ B về A cùng xuất phát một lúc và sau 1 giờ 12 phút gặp nhau tại địa điểm C.Sau đó ô tô tiếp tục chạy đến B rồi quay trở về A ngay với vận tốc cũ. Ô tô đuổi kịp người đi xe đạp ở vị trí D sau 48 phút kể từ lúc gặp nhau lần trước. Tính vận tốc của ô tô và xe đạp.
 Hd:
Ô tô
B
D
C
72 km
A
Ô tô
Ô tô
Xe đạp
Xe đạp
72 phút
72 phút
48 phút
	Theo bài ra ta có:
	Tổng vận tốc của ô tô và xe đạp là: 72000 : 72 = 1000 (m/ph)
	Sau khoảng thời gian 72 + 48 = 120 (phút) ta có:
	Xe đạp đi được quãng đường là: BC + CD = BD
	Ô tô đi được quãng đường là: AC + CB + BC + CD = AB + BD
	Hiệu của hai quãng đường của ô tô và xe đạp là: (AB + BD) – BD = AB = 72000
	Hiệu của hai vận tốc của ô tô và xe đạp là:
	72000 : 120 = 600 (m/ph)
	Vậy vận tốc của ô tô là:
	(1000 + 600) : 2 = 800 (m/ph)
Vận tốc của xe đạp là:
	(1000 - 600) : 2 = 200 (m/ph)
§ 5. TOÁN HÌNH HỌC
Bài 1:
 Hd:
	Ta có: SABC = 2 × SABN (Chung c/cao từ B tới AC và đáy AC = 2× AN)
	SABN = 2 × SAMN (Chung c/cao từ N tới AB và đáy AB = 2× AM)
	Do đó suy ra SABC = 4 × SAMN
N
A
B
C
M
	Cho tam giác ABC, với điểm M, N là điểm chính giữa cạnh AB, AC. Chứng minh rằng 
Bài 2:
Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng SAED = SBEC.
 Hd:
	Ta có: SADC = SBDC (Chung đáy DC và cùng c/cao của hình thang)
	Þ SADC - SEDC = SBDC - SEDC
	Do đó suy ra SAED = SBEC 
A
B
C
D
E
Bài 3:
Cho hình chữ nhật ABCD, I là điểm chia AB thành hai phần bằng nhau, đoạn thẳng BD cắt CI tại K. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD, biết diện tích tứ giác ADKI là 20 cm2. 
A
B
C
D
K
I
O
h1
h2
 Hd:
 + Khẳng định được SDIB = SCDB Þ h1 = h2
 Þ SIDK = SCDK 
 Þ SCDI = SIDK + SDKC = 3SDIK. 
 +Mà SCDI = 2 SADI Þ SADI = SIDK hay SIDK = SADI 
 + SAIKD = SDAI + SIDK = 20 (cm2) nên suy ra:
 SADI + SADI = 20 (cm2) hay SADI = 12 (cm2) 
 + SABCD = 4 ´ SADI = 4 ´12 = 48 (cm2). 
Bài 4:
 Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy 2 điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O. Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3, 5 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
 Hd:
M 
A
B
C
D
P
N
O
Từ SPOD = SMON + 3, 5 cm2 ta có: 
Þ SPOD + SNOP = SMON + SNOP + 3,5 cm2
 Hay SNPD = SMPN + 3,5 cm2.
	Mặt khác SNPD = 1, 5 ´ SMPN 
 (Vì đáy DP = 1, 5 ´ MN và cùng đường cao 
là chiều rộng hình chữ nhật). 
Do đó SNPD = 10, 5 cm2; SMPN = 7 cm2.
Vậy SABCD = 4 ´ SNPD = 42 (cm2).
Bài 5:
	Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 108 cm2 . M là điểm chính giữa cạnh AB. Trên đoạn thẳng DM lấy điểm I sao cho DI = DM. Hai đoạn thẳng AI và BD cắt nhau tại điểm K. Tính diện tích tứ giác MIKC.
 Hd:
M
D
C
B
A
h2
K
I
h1
+ Ta có: SABD = SABCD = 108 : 2 = 54 (cm2).
 SADM = SBDM (chung đường cao AD, đáy MA = MB) 
 Þ SADM = SABD = 54 : 2 = 27 (cm2).
Þ SAID = SADM = 27 : 3 = 9 (cm2); 
 SAMI = SADM = 18 (cm2).
 SBID = SBDM = 27 : 3 = 9 (cm2); SBMI = SBDM = 18 (cm2). 
Þ SAIB = 18 + 18 = 36 (cm2). Þ SAID : SAIB = 9 : 36 = 
 Þ Þ SDIK : SBIK = (chung đáy IK và )
Þ (chung đường cao hạ từ I) và SDIK = SBID = ´ 9 = 1, 8 (cm2).
+ Mặt khác ta có SDCK : SBCK = (chung đáy CK và )
Nên SDCK = SBCD = SABD = 54 ´ = 10, 8 (cm2). SBCM = SADM = 27 (cm2).
Vậy SMIKC = SABCD - SADM - SBCM - SDIK - SDCK 
 = 108 – 27 – 27 - 1, 8 - 10, 8 = 41, 4 (cm2).
Bài 6:
Cho hình thang ABCD có đáy AB nhỏ hơn đáy CD và AD = BC. Trên cạnh AD lấy điểm M, kéo dài BC về phía C, trên đó lấy điểm N sao cho DM = CN. MN cắt DC tại I. Chứng tỏ rằng I là điểm chính giữa của MN.
 Hd:
 I
M
h1
N
D
C 
B
A
h2
t1
t1
 Ta có SBDC = SADC (chung đáy CD
 và các đường cao t1, t2 hạ từ A và B bằng nhau)
	Þ t1 = t2 (Vì có 2 đáy AD = BC)
SDNC = SDMC 
(Vì có đáy MD = NC và hai đường cao t1 = t2 ) 
Þ h1 = h2 (chung đáy DC)
SMIC = SNIC (chung đáy IC và chiều cao h1 = h2)
 Þ IM = IN (chung đường cao hạ từ C).
Bài 7:
 	Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh CD = 20cm, AD = 14cm. Hai điểm M, N thuộc cạnh AB sao cho AM = 8cm, BN = 4cm. Hai đường thẳng CM và DN cắt nhau tại K. Tính tỷ số và diện tích SAMKD ?
 Hd:
A
B
C
D
M
N
14cm
20cm
K
 - Tính 
 Ta có SNCM = 56 cm2 và SDCM = 140 cm2
Þ 
Þ (h1, h2 là chiều cao từ N, D tới CM) 
Mà h1, h2 là chiều cao của MKN và MKD nên:
Mặt khác ( Vì 2 tam giác này chung chiều cao hạ từ M tới DN)
 Vậy ta suy ra: 
 - Tính SAMKD = ? 	
 	Ta có: và SMKN + SMKD = 56
Đưa về dạng toán tìm 2 số biiét tổng bằng 56 còn tỷ số bằng 2/5. Ta dễ dàng tính được SMKD = 56 : ( 2 + 5) ´ 5 = 40 cm2. 
Suy ra SAMKD = SADM + SMDK = 56 + 40 = 96
Bài 8:
	Cho hình chữ nhật MNPQ có độ dài các cạnh MN = 15cm, NP = 12cm. Hai điểm E, F thuộc cạnh MN sao cho ME = NF = 6cm. Hai đường QF và PE cắt nhau tại K. Tính tỷ