Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 4

2 ®¬n vÞ.
Bµi gi¶i
Khi viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶I sè ®ã th× sè ®ã t¨ng thªm 10 lÇn vµ 5 ®¬n vÞ
§Ó sè ®ã t¨ng thªm 10 lÇn th× hiÖu míi lµ:
1112 - 5 = 1107
Sè cÇn t×m lµ :
1107 : (10-1) = 123
§¸p sè 123
Bµi 4: T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶i sè ®ã ta ®­îc mét sè h¬n sè ph¶i t×m 230 ®¬n vÞ.
Bµi gi¶i
Sè cÇn t×m lµ:
(230 – 5) : ( 10 – 1) = 25
§/ s : 25
Bµi 5: Cho mét sè cã 2 ch÷ sè. NÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo ®»ng tr­íc vµ ®»ng sau sè ®ã th× sè ®ã t¨ng lªn 21 lÇn. T×m sè ®· cho.
Bµi gi¶i
Theo ®Çu bµi ta cã
ab x 21 = 1ab1
ab x 21 = 1000 + ab0 + 1
ab x 21 = 1001 + ab0
ab x 21 = 1001 + ab x 10
ab x11 = 1001 ( Cïng bít di ab x 10)
ab = 1001 : 11
ab= 91
Bµi 6: T×m sè cã 4 ch÷ sè, biÕt r»ng khi viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶i sè ®ã ta ®­îc sè lín gÊp 5 lÇn sè nhËn ®­îc khi ta viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn tr¸i sè ®ã.
Bµi 7: Cho sè cã 3 ch÷ sè, nÕu viÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn ph¶i sè ®ã, viÕt thªm ch÷ sè 2 vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®Òu ®­îc sè cã 4 ch÷ sè mµ sè nµy gÊp 3 lÇn sè kia
Bµi gi¶i
Gäi sè ph¶i t×m lµ abc ( 0 < a; b,c< 10
Theo ®Çu bµi ta cã hai kh¶ n¨ng: abc 1 > 2abc hoÆc abc1 < 2abc
XÐt kh¶ n¨ng abc1 > 2abc
- Theo ®Çu bµi ta cã :
abc1 = 3 x 2abc
abc x10 + 1 = (2000 +abc) x3 ( Ct¹o sè )
abc x 3 + abcx7 + 1 = 6000 + abc x 3 ( Mét sè nh©n víi 1 tæng)
abc x 7 + 1 = 6000 ( Bít c¶ hai vÕ cho abc x 3)
abc x7 = 6000 -1( T×m sè h¹ng cña tæng)
abc = 599 : 7857 ( T×m mét thõa sè )
Bµi 8: Cho mét sè cã 3 ch÷ sè, nÕu xo¸ ®i ch÷ sè hµng tr¨m th× sè ®ã gi¶m ®i 3 lÇn. T×m sè ®ã.
Bµi gi¶i
Gäi sè ph¶i t×m lµ abc ( 0 < a ; bc< 10)
Theo ®Çu bµi ta cã :
abc = 3 x bc
( §Æt tÝnh theo cét däc) Sè 50)
Bµi 9: T×m mét sè cã 4 ch÷ sè, nÕu xo¸ ®i ch÷ sè hµng ngh×n th× sè ®ã gi¶m ®i 9 lÇn. 
( §Æt tÝnh theo cét däc) : Sè 500
Bµi 10: T×m mét sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 5 lÇn tæng c¸c ch÷ sè cña nã.
Bµi gi¶i
Gäi sè ph¶i t×m lµ ab : §KiÖn
Theo ®Çu bµi ta cã :
Ab = ( a+b) x5
Ab = a x 5 + b x 5 ( nh©n mét sè víi mét tæng)
A x 10 + b = a x 5 + bx5
A x( 5 + 5 ) + b = a x 5 + b x (1 + 4)
A x 5 + a x 5 + b = a x 5 + b + b x 4
A x 5 = b x 4 ( Cïng bít ®i a x5 + b)
Nõu a = 1 th× a x 5 = 1 x 5 = 5 Suy ra b kh«ng cã gi¸ trÞ thÝch hîp
Thö chän ta cã a = 5 nªn b = 4
VËy sè cÇn t×m lµ 45.
Bµi 11: T×m mét sè cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 11 lÇn tæng c¸c ch÷ sè cña nã.
Bµi gi¶i
Gäi sè ph¶i t×m lµ abc : §KiÖn
Theo ®Çu bµi ta cã :
Abc = ( a + b+ c) x 11
Abc = 11 x a + 11 x b + 11 x c
A x 100 + bx 10 + c = a x11 + b x 11 + c x11
A x ( 11 + 89 ) + bx 10 + c = a x 11 + b x ( 10 + 1) + c x ( 1 + 10)
A x11 + a x 89 + b x 10 + c = a x11 + b x10 + b + c + c x 10
A x 89 = b+ c x10 ( Cïng trõ ®i n÷ng sè h¹ng gièng nhau)
Sè cÇnt×m lµ 198
V. PHÂN SỐ - TỈ SỐ PHẦN TRĂM
Bµi 1: ViÕt tÊt c¶ c¸c ph©n sè b»ng ph©n sè mµ mÉu sè lµ sè trßn chôc vµ cã 2 ch÷ sè.
75/100 =15/20 ,
3/4 = 30/40
3/4 =60/80
Bµi 2: ViÕt tÊt c¶ c¸c ph©n sè b»ng ph©n sè mµ mÉu sè cã 2 ch÷ sè vµ chia hÕt cho 2 vµ 3.
Bµi gi¶i
MÉu sè cã 2 ch÷ sè chia hÕt cho 2 vµ 3 lµ p/s : 
Bµi 3: ViÕt mçi ph©n sè sau thµnh tæng 3 ph©n sè cã tö sè lµ 1 nh­ng cã mÉu sè kh¸c nhau: 
7 = 1+ 3 + 4
Ta cã:
Bµi 4: ViÕt mçi ph©n sè sau thµnh tæng 2 ph©n sè tèi gi¶n cã mÉu sè kh¸c nhau.
	a) 	b) 
a) 7/12 = 5/12 + 2/12
= 5/12 + 1/6
b) 13/27 = 9/27 + 4/27
= 1/3 + 4/27
 Bµi 5:
ViÕt 5 p/s cã tö sè b»ng nhau mµ mçi ph©n sè ®Òu lín h¬n nh­ng bÐ h¬n 1
ViÕt 5 p/s cã mÉu sè b»ng nhau vµ mçi p/s ®Òu bÐ h¬n 
ViiÐt 3 p/s cã tö sè b»ng 1 mµ mçi p/s ®Òu lín h¬n nh­ng bÐ h¬n
Bµi 6: H·y viÕt mçi ph©n sè sau thµnh tæng c¸c ph©n sè cã tö sè b»ng 1 vµ mÉu sè kh¸c nhau.
Bµi 7: H·y viÕt tÊt c¶ c¸c ph©n sè cã tæng cña tö sè vµ mÉu sè b»ng 10.
Bµi 8: T×m:
a) cña 6m
b) cña 21kg
c) cña 
d) cña 
Bµi 9: BiÕt sè häc sinh cña líp 3A b»ng sè häc sinh cña líp 3B. H·y t×m tØ sè gi÷a sè häc sinh líp 3A vµ häc sinh líp 3B.
Bµi 10: T×m sè häc sinh cña khèi líp 4, biÕt sè häc sinh cña khèi líp 4 lµ 50 em.
VI. SO SÁNH PHÂN SỐ
1. So s¸nh ph©n sè b»ng c¸ch so s¸nh phÇn bï víi ®¬n vÞ cña ph©n sè
- PhÇn bï víi ®¬n vÞ cña ph©n sè lµ hiÖu gi÷a 1 vµ ph©n sè ®ã.
- Trong hai ph©n sè, ph©n sè nµo cã phÇn bï lín h¬n th× ph©n sè ®ã nhá 
h¬n vµ ng­îc l¹i.
VÝ dô: So s¸nh c¸c ph©n sè sau b»ng c¸ch thuËn tiÖn nhÊt.
 vµ 
B­íc 1: (T×m phÇn bï)
Ta cã : 	1-
B­íc 2: (So s¸nh phÇn bï víi nhau, kÕt luËn hai ph©n sè cÇn so s¸nh)
V× nªn 
 * Chó ý: §Æt A = MÉu 1 - tö 1
 B = mÉu 2 - tö 2
C¸ch so s¸nh phÇn bï ®­îc dïng khi A = B. NÕu trong tr­êng hîp A B ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè ®Ó biÕn ®æi ®­a vÒ 2 ph©n sè míi cã hiÖu gi÷a mÉu sè vµ tö sè cña hai ph©n sè b»ng nhau:
VÝ dô: vµ . 
+) Ta cã: 
	 1 - 1-	
+)V× nªn hay 
2. So s¸nh ph©n sè b»ng c¸ch so s¸nh phÇn h¬n víi ®¬n vÞ cña ph©n sè:
- PhÇn h¬n víi ®¬n vÞ cña ph©n sè lµ hiÖu cña ph©n sè vµ 1.
- Trong hai ph©n sè, ph©n sè nµo cã phÇn h¬n lín h¬n th× ph©n sè ®ã lín h¬n.
VÝ dô: So s¸nh: vµ 
B­íc 1: T×m phÇn h¬n
Ta cã: 	
B­¬c 2: So s¸nh phÇn h¬n cña ®¬n vÞ, kÕt luËn hai ph©n sè cÇn so s¸nh.
V× nªn 
* Chó ý: §Æt C = tö 1 - mÉu 1
 	D = tö 2 - mÉu 2
C¸ch so s¸nh phÇn h¬n ®­îc dïng khi C = D. NÕu trong tr­êng hîp C D ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè ®Ó biÕn ®æi ®­a vÒ hai ph©n sè míi cã hiÖu gi÷a tö sè vµ mÉu sè cña hai ph©n sè b»ng nhau.
VÝ dô: So s¸nh hai ph©n sè sau: vµ 
B­íc1: Ta cã: 
B­íc 2: V× nªn hay 
3. So s¸nh ph©n sè b»ng c¸ch so s¸nh c¶ hai ph©n sè víi ph©n sè trung gian
VÝ dô 1: So s¸nh vµ 
B­íc 1: Ta cã:
B­íc 2: V× nªn 
VÝ dô 2: So s¸nh vµ 
B­íc 1: Ta cã: 
B­íc 2: V× nªn 
VÝ dô 3: So s¸nh vµ 
 V× nªn 
VÝ dô 4: So s¸nh hai ph©n sè b»ng c¸ch nhanh nhÊt.
 vµ 
Bµi gi¶i
+) Ta chän ph©n sè trung gian lµ : 
+) Ta cã: 
+) VËy
* C¸ch chän ph©n sè trung gian :
- Trong mét sè tr­êng hîp ®¬n gi¶n, cã thÓ chän ph©n sè trung gian lµ nh÷ng ph©n sè dÔ t×m ®­îc nh­: 1, (vÝ dô 1, 2, 3) b»ng c¸ch t×m th­¬ng cña mÉu sè vµ tö sè cña tõng ph©n sè råi chän sè tù nhiªn n»m gi÷a hai th­¬ng võa t×m ®­îc. Sè tù nhiªn ®ã chÝnh lµ mÉu sè cña ph©n sè trung gian cßn tö sè cña ph©n sè trung gian chÝnh b»ng 1. 
- Trong tr­êng hîp tæng qu¸t: So s¸nh hai ph©n sè vµ (a, b, c, d kh¸c 0)
- NÕu a > c cßn b d) th× ta cã thÓ chän ph©n sè trung gian lµ (hoÆc )
- Trong tr­êng hîp hiÖu cña tö sè cña ph©n sè thø nhÊt víi tö sè cña ph©n sè thø hai vµ hiÖu cña mÉu sè ph©n sè thø nhÊt víi mÉu sè cña ph©n sè thø hai cã mèi quan hÖ víi nhau vÒ tØ sè (vÝ dô: gÊp 2 hoÆc 3lÇn,hay b»ng ) th× ta nh©n c¶ tö sè vµ mÉu sè cña c¶ hai ph©n sè lªn mét sè lÇn sao cho hiÖu gi÷a hai tö sè vµ hiÖu gi÷a hai mÉu sè cña hai ph©n sè lµ nhá nhÊt. Sau ®ã ta tiÕn hµnh chän ph©n sè trung gian nh­ trªn.
VÝ dô: So s¸nh hai ph©n sè vµ 
B­íc 1: Ta cã: 
 Ta so s¸nh víi 
B­íc 2: Chän ph©n sè trung gian lµ: 
B­íc 3: V× nªn hay 
4. §­a hai ph©n sè vÒ d¹ng hçn sè ®Ó so s¸nh
- Khi thùc hiÖn phÐp chia tö sè cho mÉu sè cña hai ph©n sè ta ®­îc cïng th­¬ng th× ta ®­a hai ph©n sè cÇn so s¸nh vÒ d¹ng hçn sè, råi so s¸nh hai phÇn ph©n sè cña hai hçn sè ®ã.
VÝ dô: So s¸nh hai ph©n sè sau: vµ .
Ta cã: 
V× nªn hay 
- Khi thùc hiªn phÐp chia tö sè cho mÉu sè, ta ®­îc hai th­¬ng kh¸c nhau, ta còng ®­a hai ph©n sè vÒ hçn sè ®Ó so s¸nh.
VÝ dô: So s¸nh vµ 
Ta cã: 
V× 3 > 2 nªn hay > 
* Chó ý: Khi mÉu sè cña hai ph©n sè cïng chia hÕt cho mét sè tù nhiªn ta cã thÓ nh©n c¶ hai ph©n sè ®ã víi sè tù nhiªn ®ã råi ®­a kÕt qu¶ võa t×m ®­îc vÒ hçn sè råi so s¸nh hai hçn sè ®ã víi nhau
VÝ dô: So s¸nh vµ . 
+) Ta cã: x 3 = 
+) V× nªn hay > 
5. Thùc hiÖn phÐp chia hai ph©n sè ®Ó so s¸nh
- Khi chia ph©n sè thø nhÊt cho ph©n sè thø hai, nÕu th­¬ng t×m ®­îc b»ng 1 th× hai ph©n sè ®ã b»ng nhau; nÕu th­¬ng t×m ®­îc lín h¬n 1 th× ph©n sè thø nhÊt lín h¬n ph©n sè thø hai; nÕu th­¬ng t×m ®­îc nhá h¬n 1 th× ph©n sè thø nhÊt nhá h¬n ph©n sè thø hai.
VÝ dô: So s¸nh vµ 
Ta cã: : = VËy < .
Bài tập
Bµi 1: So s¸nh c¸c ph©n sè sau b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt:
a) vµ 
d) vµ PhÇn bï
b) vµ So s¸nh víi 1
c) vµ PhÇn bï
g) vµ ( Trung gian)
Bµi 2: So s¸nh c¸c ph©n sè sau b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt:
a) vµ PhÇn bï
d) vµ SS víi 15/49
b) vµ Trung gian26/120 
e) vµ ( TS > MS)
c) vµ (997x2) SS phÇn bï
g) vµ SS 16/29
Bµi 3: So s¸nh c¸c ph©n sè sau b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt:
a) vµ (SS phÇn bï)
c) vµ SS 24/49
b) vµ SS Trung gian
VII. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
a. Trung bình cộng:
VÝ dô 1:
H·y t×m sè trung b×nh céng cña 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Bµi gi¶i
Sè trung b×nh céng lµ : (1 + 9) : 2 = 5.
(HoÆc d·y sè ®ã cã 9 sè h¹ng liªn tiÕp tõ 1 ®Õn 9 nªn sè ë chÝnh gi÷a chÝnh lµ sè trung b×nh céng vµ lµ sè 5).
VÝ dô2:
 An cã 20 viªn bi, B×nh cã sè bi b»ng sè bi cña An. Chi cã sè bi h¬n møc trung b×nh céng cña ba b¹n lµ 6 viªn bi. Hái Chi cã bao nhiªu viªn bi?
Bµi gi¶i
	Sè bi cña B×nh lµ : 20 x = 10 (viªn)
	NÕu Chi bï 6 viªn bi cho hai b¹n cßn l¹i råi chia ®Òu th× sè bi cña ba b¹n sÏ b»ng nhau vµ b»ng trung b×nh céng cña c¶ ba b¹n.
VËy trung b×nh céng sè bi cña ba b¹n lµ: 
	(20 + 10 + 6) : 2 = 18 (viªn)
Sè bi cña Chi lµ: 
18 + 6 = 24 (viªn)
	§¸p sè: 24 viªn bi
VÝ dô3: 
An cã 20 nh·n vë, B×nh cã 20 nh·n vë. Chi cã sè nh·n vë kÐm trung b×nh céng cña ba b¹n lµ 6 nh·n vë. Hái Chi cã bao nhiªu n·nh vë?
Bµi gi¶i
	NÕu An vµ B×nh bï cho Chi 6 viªn bi råi chia ®Òu th× sè bi cña ba b¹n sÏ b»ng nhau vµ b»ng trung b×nh céng cña c¶ ba b¹n. 
VËy sè trung b×nh céng cña ba b¹n lµ:
	(20 + 20 - 6) : 2 = 17 (nh·n vë)
	Sè nh·n vë cña Chi lµ: 
17 - 6 = 12 (nh·n vë)
	§¸p sè: 12 nh·n vë
VÝ dô 4: 
Cã bèn b¹n An, B×nh, Dòng, Minh cïng ch¬i bi. BiÕt An cã 18 viªn bi, B×nh cã 16 viªn bi, Dòng cã sè bi b»ng trung b×nh céng sè bi cña An vµ B×nh. Minh cã sè bi b»ng trung b×nh céng sè bi cña c¶ bèn b¹n. Hái B¹n Minh cã bao nhiªu viªn bi?
Bµi gi¶i
Dòng cã sè bi lµ :
(18 + 16 ) : 2 = 17 ( viªn)
Minh cã sè bi lµ :
18 + 16 + 17 = 17 (viªn bi)
§¸p sè : 17 viªn bi
VÝ dô 5 :
 Mét « t« trong 3 giê ®Çu, mçi giê ®i ®­îc 40km, trong 3 giê sau, mçi giê ®i ®­îc 50 km. NÕu muèn t¨ng møc trung b×nh céng mçi giê t¨ng thªm 1km n÷a th× ®Õn giê thø 7, « t« ®ã cÇn ®i bao nhiªu ki-l«-mÐt n÷a?
Bµi gi¶i
Trong 6 giê ®Çu, trung b×nh mçi giê « t« ®i ®­îc: 
	(40 x 3 + 50 x 3 ) : 6 = 45 (km)
Qu·ng ®­êng « t« ®i trong 7 giê lµ :
	(45 + 1) x 7 = 322 (km)
Giê thø 7 « t« cÇn ®i lµ: 
	322 - (40 x 3 + 50 x 3) = 52 (km)
	§¸p sè: 52km
Bài tập
Bµi 1: T×m sè trung b×nh céng cña c¸c sè c¸ch ®Òu nhau 4 ®¬n vÞ : 3, 7, 11, ,95, 99, 103.
Bµi gi¶i
Trung b×nh céng cña d·y lµ:
(103+3) : 2 = 53
Bµi 2: T×m sè trung b×nh céng cña c¸c sè : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.
Em cã c¸ch nµo tÝnh nhanh sè trung b×nh céng cña c¸c sè trªn kh«ng? 
Bµi gi¶i
(4 + 18 ) : 2 = 11
Bµi 3: Trung b×nh céng tuæi cña bè, mÑ, B×nh vµ Lan lµ 24 tuæi, trung b×nh céng tuæi cña bè. mÑ vµ Lan lµ 28 tuæi. T×m tuæi cña mçi ng­êi, biÕt tuæi B×nh gÊp ®«i tuæi Lan, 
tuæi Lan b»ng tuæi mÑ.
Bµi gi¶i
 Ttuæi cña bè, mÑ, B×nh vµ Lan lµ : 24 x 4 = 96 tuæi
Tuæi cña bè. mÑ vµ Lan lµ : 28 x 3 = 84 tuæi
Tuæi cña B×nh lµ : 96 – 84 = 12 tuæi
Tuæi Lan lµ : 12 : 2 = 6 Tuæi 
Tuæi mÑ Lan lµ : 6 x 6 = 36 tuæi
Tuæi Bè Lan lµ : 96 – ( 36 + 12 + 6 ) = 42 tuæi
§¸p sè :
Bµi 5: Hai ng­êi ®i xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai đÞa ®iÓm c¸ch nhau 216km vµ ®i ng­îc chiÒu nhau. Hä ®i sau 3 giê th× gÆp nhau. Hái trung b×nh mét giê mçi ng­êi ®i ®i ®­îc bao nhiªu ki- l«-mÐt?
Bµi gi¶i
Trung b×nh mçi giê mçi ng­êi ®i ®­îc sè ki l« mÐt lµ :
216 : ( 3 x2 ) = 36 km/giê
Bµi 6: Con lîn vµ con chã nÆng 102kg, con lîn vµ con bß nÆng 231kg, con chã vµ con bß nÆng 177kg. Hái trung b×nh mçi con nÆng bao nhiªu ki-l«-gam?
Bµi gi¶i
Hai lÇn con chã , 2 lÇn con bß , 2 lÇn con lîn c©n nÆng lµ :
102 + 231 + 177 = 510 kg
Trung b×nh mçi con nÆng sè ki-l«-gam:
510 : 6 = 85 (kg)
§/s: 85 kg
Bµi 7: T×m sè cã ba ch÷ sè, biÕt trung b×nh céng ba ch÷ sè cña sè ®ã b»ng 6 vµ ch÷ sè hµng tr¨m gÊp ba ch÷ sè hµng chôc, ch÷ sè hµng chôc kÐm ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 2.
Tæng cña 3 sã lµ : 6 x3 = 18
Bµi 8: Ba sè cã trung b×nh céng lµ 60. T×m ba sè ®ã, biÕt nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè ch÷ sè 0 vµo bªn ph¶i sè thø nhÊt th× ta ®­îc sè thø hai vµ sè thø nhÊt b»ng sè thø ba.
Bµi gi¶i
Ta cã sè thø thø hai gÊp 10 lÇn sè thø nhÊt vµ sè thø ba gÊp 4 lÇn sè thø nhÊt
Tæng sè phÇn b»ng nhau lµ : 1+4+ 10 = 15
Sè thø nhÊt lµ : 60 x 3 : 15 = 12
Sè thø hai lµ : 12 x 10 = 120
Sè thø ba lµ : 12 x 4 = 48
§¸p sè : 12,48 ,120
Bµi 9: Líp 5A vµ líp 5B trång ®­îc mét sè c©y, biÕt trung b×nh céng sè c©y hai líp ®· trång ®­îc b»ng 235 c©y vµ nÕu líp 5A trång thªm 80 c©y, líp 5B trång thªm 40 c©y th× sè c©y hai líp trång sÏ b»ng nhau. T×m sè c©y mçi líp ®· trång .
Bµi gi¶i
Tæng sè c©y cña hai líp lµ : 235 x 2 = 470 c©y
Ta cã sè c©y cña líp 5A Ýt h¬n sè c©y cña líp 5B lµ : 80 – 40 = 40 c©y
Sè c©y cña líp 5A lµ : (470 – 40 ) : 2 = 215 c©y
Sè c©y cña líp 5B lµ : 215 + 40 = 255 c©y
Bµi 10: Líp 5A, 5B, 5C trång c©y. BiÕt trung b×nh sè c©y 3 líp trång lµ 220 c©y vµ nÕu líp 5A trång bít ®i 30 c©y, 5B trång thªm 80 c©y, 5B trång thªm 40 c©y th× sè c©y 3 líp trång ®­îc b»ng nhau. TÝnh sè c©y mçi líp ®· trång.
Bµi gi¶i
Tæng sè c©y cña 3 líp lµ ; 220 x3 = 660 c©y
Tæng sè c©y míi lµ : 660 – 30 + 80 + 40 = 750 c©y
Trung b×nh mçi líp trång ®­îc sè c©y lµ: 750 : 3 = 250
Líp 5ª trång ®­îc sè c©y lµ : 250 + 30 + 280 c©y
Líp 5B trång ®­îc sè c©y lµ: 250 – 80 = 170 c©y
Líp 5C trång ®­îc sè c©y lµ : 250 -40 = 210 c©y
Bµi 12: ViÖt cã 18 bi, Nam cã 16 bi, Hoµ cã sè bi b»ng trung b×nh céng cña ViÖt vµ Nam, B×nh cã sè bi kÐm trung b×nh céng cña 4 b¹n lµ 6 bi. Hái B×nh cã bao nhiªu bi?
Bµi gi¶i
Sè bi cña Hßa lµ : (16 + 18 ) : 2 = 17
 NÕu 3 b¹n bï cho B×nh 6 bi th× trung b×nh céng sè bi cña 4 b¹n b»ng nhau
TBC sè bi cña 3 b¹n lµ : (18 + 17 + 16 - 6) : 3 = 15 bi
Sè bi cña B×nh lµ : 15 - 6 = 9 ( bi)
§¸p sè :11 bi
Bµi 13: Nh©n dÞp khai gi¶ng, Mai mua 10 quyÓn vë, Lan mua 12 quyÓn vë, §µo mua sè vë b»ng trung b×nh céng cña 2 b¹n trªn, Cóc mua h¬n trung b×nh céng cña c¶ 3 b¹n lµ 4 quyÓn. Hái Cóc mua bao nhiªu quyÓn vë?
Bµi gi¶i
 §µo mua sè vë lµ : (12 + 10 ) : 2 + 11 (quyÓn)
 TBC sè vë cña b¹n lµ : (12 + 11 + 10) : 3 = 11 quyÓn
 Sè vë cñaCóc lµ ; 11 + 4 = 15 quyÓn
§¸p sè : 15 quyÓn
Bµi 14: Tuæi trung b×nh 11 cÇu thñ cña mét ®éi bãng ®¸ lµ 22 tuæi . NÕu kh«ng kÓ thñ m«n th× tuæi trung b×nh cña 10 cÇu thñ lµ 21 tuæi. Hái thñ m«n bao nhiªu tuæi?
B. Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu hai số
Bµi 1: Cã mét hép bi xanh vµ mét hép bi ®á, tæng sè bi cña 2 hép lµ 48 viªn bi. BiÕt r»ng nÕu lÊy ra ë hép bi ®á 10 viªn vµ lÊy ra ë hép bi xanh 2 viªn th× sè bi cßn l¹i trong 2 hép b»ng nhau. T×m sè bi cña mçi hép lóc ®Çu. 
§¸p sè : 18 vµ 20
Bµi 2: Lan cã nhiÒu h¬n Hång 12 quyÓn truyÖn nhi ®ång. NÕu Hång mua thªm 8 quyÓn vµ Lan mua thªm 2 quyÓn th× 2 b¹n cã tæng céng 46 quyÓn. Hái mçi b¹n cã bao nhiªu quyÓn truyÖn nhi ®ång?
§¸p sè : 12 vµ 24
Bµi 3: Hai hép bi cã tæng céng 115 viªn, biÕt r»ng nÕu thªm vµo hép bi thø nhÊt 8 viªn vµ hép thø hai 17 viªn th× 2 hép cã sè bi b»ng nhau. Hái mçi hép cã bao nhiªu viªn bi?
§¸p sè 78 vµ 37
Bµi 4: T×m hai sè cã hiÖu b»ng 129, biÕt r»ng nÕu lÊy sè thø nhÊt céng víi sè thø hai råi céng víi tæng cña chóng th× ®­îc 2010.
Bµi gi¶i:
 ST1 + ST2 + tæng = 2010 
Hay ST1 + ST2 + ST1 + ST2 = 2010
ST1 + ST2 = 2010 : 2 = 1005
ST1 lµ : ( 1005 - 129 ) : 2 = 438
ST2 lµ : 438 + 129 = 567
Bµi 5: T×m hai sè ch½n cã tæng b»ng 216, biÕt gi÷a chóng cã 5 sè ch½n
BG
Kho¶ng c¸ch gi÷a hai sè ch½n nµy lµ : 5x2 +2 = 12
S bÐ lµ : (216 - 12) :2 =
S Lín lµ : ( 216 + 12 ) : 2 =
Bµi 6: Tæng sè tuæi hiÖn nay cña bµ, cña HuÖ vµ cña H¶i lµ 80 tuæi. C¸ch ®©y 2 n¨m, tuæi bµ h¬n tæng sè tuæi cña HuÖ vµ H¶i lµ 54 tuæi, HuÖ nhiÒu h¬n H¶i 6 tuæi. Hái hiÖn nay mçi ng­êi bao nhiªu tuæi?
BG
C¸ch ®©y 2 n¨m tæng tuæi cña 3 bµ ch¸u lµ :
80 – ( 3x2) = 74 tuæi
Bµi 7: Hai ®éi trång c©y nhËn kÕ ho¹ch trång tÊt c¶ 872 c©y. Sau khi mçi ®éi hoµn thµnh kÕ ho¹ch cña m×nh, ®éi 1 trång nhiÒu h¬n sè c©y ®éi 2 trång lµ 54 c©y. Hái mçi ®éi nhËn trång theo kÕ ho¹ch lµ bao nhiªu c©y?
C. Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
Bµi 1: MÑ em tr¶ hÕt tÊt c¶ 84600 ®ång ®Ó mua mét sè tr¸i c©y gåm cam, t¸o vµ lª. T¸o gi¸ 2100 ®ång 1 qu¶, cam gi¸ 1600 ®ång 1 qu¶ vµ lª gi¸ 3500 ®ång mét qu¶. BiÕt mÑ em ®· mua sè cam b»ng 2 lÇn sè t¸o vµ sè t¸o b»ng 2 lÇn sè lª. T×m sè qu¶ mçi lo¹i mÑ em ®· mua.
Bµi 2: Mét cöa hµng rau qu¶ cã 185,5kg chanh vµ cam. Sau khi b¸n, ng­êi b¸n hµng thÊy r»ng: l­îng chanh ®· b¸n b»ng l­îng cam ®· b¸n vµ l­îng chanh cßn l¹i nhiÒu h¬n l­îng cam cßn l¹i 17,5kg. Hái cöa hµng ®ã ®· b¸n ®­îc bao nhiªu ki - l« - gam mçi lo¹i, biÕt r»ng ban ®Çu sè chanh b»ng sè cam?
Bµi 3: Mét cöa hµng cã 215,5kg g¹o tÎ vµ g¹o nÕp. L­îng g¹o nÕp ®· b¸n b»ng l­îng g¹o tÎ ®· b¸n. Sau khi b¸n, l­îng g¹o nÕp cßn l¹i h¬n l­îng g¹o tÎ cßn l¹i lµ 25,9kg. Hái cöa hµng ®· b¸n bao nhiªu ki - l« - gam mçi lo¹i, biÕt r»ng ban ®Çu g¹o nÕp b»ng g¹o tÎ?
Bµi 4: Mét cöa hµng rau qu¶ cã hai ræ ®ùng cam vµ chanh. Sau khi b¸n, sè cam vµ sè chanh th× ng­êi b¸n hµng thÊy cßn l¹i 160 qu¶ hai lo¹i. Trong ®ã sè cam b»ng sè chanh. Hái lóc ®Çu cöa hµng cã bao nhiªu qu¶ mçi lo¹i?
Bµi 5: Ba líp cïng gãp b¸nh ®Ó liªn hoan cuèi n¨m. Líp A gãp 5kg b¸nh, líp B gãp 3kg 
b¸nh cïng lo¹i. Sè b¸nh ®ã ®ñ dïng cho c¶ 3 líp nªn líp C kh«ng ph¶i mua b¸nh 
mµ ph¶i tr¶ cho 2 líp kia lµ 24000 ®ång. Hái mçi líp A, B nhËn ®­îc bao nhiªu tiÒn? (Mçi líp gãp sè tiÒn nh­ nhau).
Bµi 6: Tuæi vµ th¬ gãp b¸nh ¨n chung, Tuæi gãp 3 chiÕc, Th¬ gãp 5 chiÕc. Võa lóc ®ã, To¸n ®i tíi. Tuæi vµ Th¬ mêi To¸n ¨n cïng. ¡n xong To¸n tr¶ l¹i cho 2 b¹n 8000 ®ång. Hái Tuæi vµ Th¬ mçi ng­êi nhËn ®­îc bao nhiªu tiÒn?
Bµi 7: Trong thóng cã 150 qu¶ trøng gµ vµ trøng vÞt. MÑ ®· b¸n mçi lo¹i 15 qu¶. TÝnh ra sè trøng gµ cßn l¹i b»ng sè trøng vÞt cßn l¹i. Hái lóc ®Çu trong thóng cã bao nhiªu trøng gµ, bao nhiªu trøng vÞt?
Bµi 8: Trong thóng cã 210 qu¶ quýt vµ cam. MÑ ®· b¸n 60 qu¶ quýt. Lóc nµy, trong thóng cã sè quýt cßn l¹i b»ng sè cam. Hái lóc ®Çu sè cam b»ng bao nhiªu phÇn sè quýt?
Bµi 9: B¹n B×nh cã 22 viªn bi gåm bi ®á vµ bi xanh. B×nh cho em 3 viªn bi ®á vµ 2 viªn bi xanh. B¹n An l¹i cho B×nh thªm 7 viªn bi ®á n÷a. Lóc nµy, B×nh cã sè bi ®á gÊp ®«i sè bi xanh. Hái lóc ®Çu B×nh cã bao nhiªu viªn bi ®á, bao nhiªu viªn bi xanh?
Bµi 10: Trong mét khu v­ên, ng­êi ta trång tæng céng 120 c©y gåm 3 lo¹i: cam, chanh vµ xoµi. BiÕt sè cam b»ng tæng sè chanh vµ xoµi, sè xoµi b»ng tæng sè chanh vµ sè cam. Hái mçi l¹i cã bao nhiªu c©y?
Bµi 11: Dòng cã 48 viªn bi gåm 3 lo¹i: bi xanh, bi ®á vµ bi vµng. Sè bi xanh b»ng tæng sè bi ®á vµ bi vµng, sè bi xanh céng sè bi ®á gÊp 5 lÇn sè bi vµng. Hái mçi lo¹i cã bao nhiªu viªn bi?
Bµi 14: Ngµy xu©n 3 b¹n: HuÖ, H»ng, Mai ®i trång c©y. BiÕt r»ng tæng sè c©y cña 3 b¹n trång ®­îc lµ 17 c©y. Sè c©y cña 2 b¹n HuÖ vµ H»ng trång ®­îc nhiÒu h¬n Mai trång lµ 3 c©y. Sè c©y cña HuÖ trång ®­îc b»ng sè c©y cña H»ng. Em h·y tÝnh xem mçi b¹n trång ®­îc bao nhiªu c©y?
D. Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
Bµi 1: N¨m nay con 25 tuæi, nÕu tÝnh sang n¨m th× tuæi cha gÊp 2 lÇn tuæi con hiÖn nay. Hái lóc cha bao nhiªu tuæi th× tuæi con b»ng tuæi cha?
Bµi 2: Mét líp cã sè häc sinh nam b»ng sè häc sinh n÷. Sè häc sinh nam Ýt h¬n sè häc sinh n÷ 12 b¹n. TÝnh sè häc sinh nam, sè häc sinh n÷ cña líp ®ã.
Bµi 3: Cho mét ph©n sè cã tæng cña tö sè vµ mÉu sè lµ 4013 vµ mÉu sè lín h¬n tö sè lµ 1.
a) H·y t×m ph©n sè ®ã.
b) NÕu céng thªm 4455332 vµo tö sè th× ph¶i céng thªm vµo mÉu sè bao nhiªu ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè kh«ng thay ®æi.
Bµi 4: Khi anh t«i 9 tuæi th× mÑ míi sinh ra t«i. Tr­íc ®©y, lóc mµ tuæi anh t«i b»ng tuæi t«i hiÖn nay th× t«i chØ b»ng tuæi anh t«i. §è b¹n tÝnh ®­îc tuæi cña anh t«i hiÖn nay.
Bµi 5: Mét cöa hµng cã sè bót ch× xanh gÊp 3 lÇn sè bót ch× ®á. Sau khi cöa hµng b¸n ®i 12 
bót ch× xanh vµ 7 bót ch× ®á th× phÇn cßn l¹i sè bót ch× xanh h¬n sè bót ch× ®á lµ 51 
c©y. Hái tr­íc khi b¸n mçi lo¹i bót ch× cã bao nhiªu chiÕc?
Bµi 6: Lõa vµ Ngùa cïng chë hµng. Ngùa nãi: “NÕu anh chë gióp t«i 2 bao hµng th× 2 chóng ta chë b»ng nhau”. Lõa nãi l¹i víi Ngùa: “Cßn nÕu anh chë gióp t«i 2 bao hµng th× anh sÏ chë gÊp 5 lÇn t«i”. Hái mçi con chë bao nhiªu bao hµng?
Bµi 7: BiÕt tuæi An c¸ch ®©y 6 n¨m b»ng tuæi An 6 n¨m tíi. Hái hiÖn nay An bao nhiªu tuæi?
Bµi 8: Cho mét sè tù nhiªn. NÕu thªm 28 ®¬n vÞ vµo sè ®ã ta ®­îc sè míi gÊp 2 lÇn sè cÇn t×m. T×m sè tù nhiªn ®ã.
Bµi 9: T×m hai sè cã hiÖu b»ng 252, biÕt sè bÐ b»ng tæng 2 sè ®ã.
Bµi 10: T×m 2 sè cã hiÖu b»ng 310, biÕt sè thø hai gÊp 4 lÇn sè thø nhÊt.
Bµi 11: T×m sè A, biÕt 4 lÇn sè A h¬n sè A lµ 2025 ®¬n vÞ.
VIII. Một số phương pháp giải toán 
Dạng 1. Các bài toán giải bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Bµi 1: Mét hiÖu s¸ch ®em vÒ mét sè s¸ch TiÕng ViÖt líp 5. ChÞ b¸n hµng ®· ®em ra sè s¸ch ®ã ®Ó bµy b¸n. Sau khi b¸n ®­îc 4 cuèn chÞ b¸n hµng nhËn thÊy r¾ng sè s¸ch bµy ra b¸n lóc nµy b»ng sè s¸ch ë trong kho. Hái chÞ b¸n hµng nhËn vÒ bao nhiªu cuèn s¸ch TiÕng ViÖt líp 5?
Bµi 2: Mét hiÖu s¸ch ®em vÒ mét sè s¸ch TiÕng ViÖt líp 5. ChÞ b¸n hµng ®· ®em ra sè s¸ch ®ã ®Ó bµy b¸n. Sau khi b¸n ®­îc 4 cuèn chÞ b¸n hµng nhËn thÊy r¾ng sè s¸ch bµy ra b¸n lóc nµy b»ng sè s¸ch ë trong kho. Hái chÞ b¸n hµng nhËn vÒ bao nhiªu cuèn s¸ch TiÕng ViÖt líp 5?
Bµi 3: Tæng sè tuæi cña 2 anh em hiÖn nay lµ 24, tÝnh tuæi cña mçi ng­êi, biÕt r»ng khi tuæi anh b»ng tuæi em hiªn nay th× tuæi em b»ng tuæi anh hiÖn nay.
Bµi 4: Bèn tæ häc sinh trång ®­îc tÊt c¶ 950m2 rau. BiÕt tæ 1 trång kÐm tæ 3 lµ 20m2, tæ 2 trång kÐm h¬n tæ 4 lµ 70m2, tæ 4 trång kÐm h¬n tæ 3 lµ 10m2. Hái mçi tæ trång ®­îc bao nhiªu mÐt vu«ng rau?
Bµi 5: ThÇy gi¸o ®iÒu 36 häc sinh líp 5B ®i lao ®éng vµ ®­îc chia lµm 3 tæ. Trong ®ã tæ 1 nhiÒu h¬n tæ 2 lµ 4 häc sinh. Lóc sau thÇy l¹i chuyÓn 2 häc sinh tõ tæ 2 sang tæ 3 th× sè l­îng häc sinh lóc nµy cña 2 tæ b»ng nhau. Hái lóc ®Çu mçi tæ cã bao nhiªu häc sinh?
Bµi 6: Mét phÐp chia cã th­¬ng lµ 4 vµ sè d­ lµ 2. Tæng cña sè bÞ chia, sè chia vµ sè d­ lµ 29. T×m sè bÞ chia, sè chia trong phÐp chia ®ã.
Bµi 7: HiÖu cña 2 sè lµ 1217. NÕu gÊp sè trõ lªn 4 lÇn th× ®­îc sè míi lín h¬n sè bÞ trõ lµ 376. T×m sè b