Bộ Đề thi học sinh giỏi Môn toán lớp 8

guyên của P là 1 và - 1 ............................................0,25đ
Bài 2 ( 2,5 điểm )
a) 1,0 điểm
 + Viết M = ....................................................................0,25đ
 + Vì ( x + 1 )2 ³ 0 với mọi x Þ ( x + 1 )2 + 2 ³ 2 với mọi x .............0,25đ
 + Có M £ nên M có giá trị lớn nhất là M = 1 .....................0,25đ
 + Dấu “ = ” xảy ra khi x = -1 .........................................................0,25đ
b) 1,5 điểm
 Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + 7 (m), điều kiện x > 0 .............................0,25đ
 Theo định lý Pi-ta-go thì x2 + ( x + 7 )2 = 132 ............................................0,25đ 
 Û x2 + x2 + 14x + 49 = 169
 Û 2x2 + 14x - 120 = 0 
 Û ( x + 12 )( 2x - 10 ) = 0 
 Vậy x = -12 ( loại ) hoặc x = 5 ( nhận ) ...............................0,5đ
 Tính được diện tích của hình chữ nhật S = 60m2 ...............................................................0,5đ
Bài 3 ( 2,5 điểm )
a) 1,0 điểm
 + Chuyển vế và tách - = - ....................................0,25đ
 + Nhóm, quy đồng mẫu của từng nhóm và thực hiện đúng phép cộng .........0,25đ
 + Đặt nhân tử chung trên tử thức để có : ................0,25đ
 + Vì a ³ 1 và b ³ 1 nên phân thức trên ³ 0 ; từ đó suy ra điều cần c/m .........0,25đ 
b) 1,5 điểm
 + ĐKXĐ : x ¹ ± m .............................................................................................................0,25đ
 + Quy đồng và khử mẫu 2 vế, đưa về PT ( m - 1 ).x = ( m - 1 )( 2m - 3 ) ........................0,25đ
 + Với m ¹ 1 ta có x = 2m -3 ..............................................................................................0,25đ 
 + Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - 3 ¹ m Û m ¹ 3 và 2m - 3 ¹ - m Û m ¹ 1 ................0,25đ
 Vậy khi m ¹ 1 và m ¹ 3 thì PT đã cho có 1 nghiệm x = 2m - 3 ....................................0,25đ 
 + Với m = 1, PT có dạng 0.x = 0 Þ mọi số thực x ¹ ± 1 đều là nghiệm của PT ............0,25đ
Bài 4 ( 3,0 điểm )
a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) 
 B + Có BIC > A Þ Vẽ BIN = A ( N Î BC ) ............... 0,25đ 
 Þ DABI ∽ DIBN ( g-g ) .............................................0,25đ
 Þ AB/ BI = BI/ BN Þ BI2 = AB.BN .......................... 0,25đ 
 M + Có BN < BC nên BI2 < AB.BC ..............................0.25đ
 K
 b) 1,5 điểm
 + Tính được HCB = 400 Þ HCK = BCK = 200 .................0,25đ
 H N + Tam giác vuông AHC có ACH = 300 Þ AH = CH/2 ......0,25đ (1)
 + Vì CK là phân giác HCB nên kết hợp với (1) 
 A I C 
 Þ ......................................0,25đ (2)
+ Vẽ KM ^ BC tại M thì DBMK ∽ DBAC ( g-g ) Þ Û ....................0,25đ 
Kết hợp với (2) Þ (3) ; vì BI là phân giác ABC nên (4) .................0,25đ
+ Từ (3) & (4) Þ Þ HI // CK ......................................................................................0,25đ
c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 200 ( 2 góc so le trong ) ............................................0,5đ
§Ò 7
C©u 1 (1,5 ®iÓm): 
 a/ TÝnh nhanh: 999.1001+992. 
 b/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : +/ x2-7x+10.
 +/ x2-2x-y2+1.
C©u 2 (2 ®iÓm): 
 a/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
 b/ So s¸nh A vµ B biÕt: A= (1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+) vµ B=2.
C©u 3 (2 ®iÓm): 
Cho T=.
 a/ Rót gän T.
 b/ T×m x ®Ó T ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 
C©u 4 (2 ®iÓm): Mét ng­êi ®i xe m¸y tõ S¬n §éng ®Õn B¾c Giang c¸ch nhau 80km. Mét nöa giê sau mét ng­êi ®i xe « t« tõ S¬n §éng ®Õn B¾c Giang tr­íc ng­êi ®i xe m¸y 10 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi xe, biÕt vËn tèc cña xe « t« gÊp 1,5 lÇn vËn tèc xe m¸y.
C©u 5: (2,5 ®iÓm): Cho vu«ng t¹i A; H n»m trªn ®o¹n BC ( H kh«ng trïng B hoÆc C). Gäi E, F lÇn l­ît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB, AC vµ HE c¾t AB t¹i P, HF c¾t AC t¹i Q.
 a/ Tø gi¸c HPAQ lµ h×nh g×? T¹i sao?
 b/ Chøng minh: AC.BP=AB.AQ.
 c/ Chøng minh ba ®iÓm: E, A, F th¼ng hµng.
------------------------ @ ------------------------
HD
C©u 1 (1,5 ®iÓm): 
 a/ TÝnh nhanh: 999.1001+992 = (1000-1)(1000+1)+(100-1)2 =10002-1+1002-200+1= 1000000+10000-200=1009800 ( 0,5 ®iÓm)
 b/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
+/ x2-7x+10 = (x2-2x)-(5x-10)= x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5). ( 0,5 ®iÓm)
+/ x2-2x-y2+1= (x2-2x+1)-y2 = (x-1)2-y2 = (x-1+y)(x-1-y) ( 0,5 ®iÓm)
C©u 2 (2 ®iÓm): 
 a/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
4(x-1)=6(3x-4)-3x 4x-4=18x-24-3x => x= . ( 1 ®iÓm)
 b/ Ta cã A= (1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+) 
= (1-)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+) = (1-)(1+)(1+)(1+)(1+)
= (1-)(1+)(1+)(1+) = (1-)(1+)(1+) = (1-)(1+) = (1- )
=> A = 2(1-) = 2 - . Do > 0 => 2 - < 2 . VËy A<B ( 1 ®iÓm)
C©u 3 (2 ®iÓm): Cho T=. TX§ x1.
 a/ Rót gän T= = = = ( 1 ®iÓm)
 b/ §Ó T ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt th× nhá nhÊt mµ (x+1)2 +1>1 . 
VËy x=-1 th× T=1 lµ lín nhÊt. ( 1 ®iÓm)
C©u 4 (2 ®iÓm): Gäi vËn tèc cña ng­êi ®i xe m¸y lµ x km/h (x > 0)
=> vËn tèc cña ng­êi ®i xe « t« lµ 1,5x km/h . (0,5 ®iÓm )
thêi gian ng­êi ®i xe m¸y lµ: (h) , thêi gian ng­êi ®i xe « t« lµ: ( h) (0,5®iÓm )
theo bµi ra ta cã pt: - = (« t« ®i tr­íc 0,5 (h) + ®Õn sím 10 phót) = (h)
gi¶i pt trªn ®­îc x= 40. (0,5®iÓm )
VËy vËn tèc cña ng­êi ®i xe m¸y lµ 40 km/h, 
vËn tèc cña ng­êi ®i xe « t« lµ 60 km/h (0,5®iÓm )
C©u 5: (2,5 ®iÓm) HS vÏ h×nh, ghi gi¶ thiÕt ®óng ®­îc (0,25 ®iÓm )
F
A
B
C
H
E
P
Q
 a/ Tø gi¸c HPAQ lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã 3 gãc vu«ng 
= 900; = 900; = 900 (0,75 ®iÓm )
 b/ Do HP// AC => => AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ (0,75 ®iÓm )
 c (0,75 ®iÓm )
§Ò 8
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:
Bµi 2: (2®iÓm) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 3: (2®iÓm)
 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d­¬ng ,ta cã: (a+b+c)(
2. T×m sè d­ trong phÐp chia cña biÓu thøc cho ®a thøc .
Bµi 4: (4 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®­êng cao AH (HBC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §­êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo .
Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM
Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: .
Bµi 1
C©u
Néi dung
§iÓm
1.
2,0
1.1
(0,75 ®iÓm)
0.5
0,5
1.2
(1,25 ®iÓm)
0,25
0,25
0,25
2.
2,0
2.1
 (1)
+ NÕu : (1) (tháa m·n ®iÒu kiÖn ).
+ NÕu : (1) 
 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i)
VËy: Ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ .
0,5
0,5
2.2
 (2)
§iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: 
 (2)
 vµ .
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm 
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1
Ta cã:
A=
 =
Mµ: (B§T C«-Si)
Do ®ã A VËy A
0,5
0,5
3.2
Ta cã: 
§Æt , biÓu thøc P(x) ®­îc viÕt l¹i:
Do ®ã khi chia cho t ta cã sè d­ lµ 1993
0,5
0,5
4
4,0
4.1
+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: 
 Gãc C chung. 
 (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB ®ång d¹ng)
 Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). 
Suy ra: (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: 
1,0
0,5
4.2
Ta cã: (do )
mµ (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
nªn (do )
Do ®ã (c.g.c), suy ra: 
0,5
0,5
0,5
4.3
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra: , mµ 
0,5
Do ®ã: 
0,5
§Ò sè 9
M«n thi : To¸n 8 .
(Thêi gian lµm bµi :120’ .)
C©u 1 : ( 2,5 ®) . Cho biÓu thøc : A =
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh vµ rót gän A .
T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nguyªn .
C©u 2 : ( 2 ® )Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh .
 a. + = -3 .
b. x3 –7x – 6 = 0 .
C©u 3 : ( 3 ® ) Trªn c¸c c¹nh AB , AC cña tam gi¸c ABC lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q sao cho BP = CQ . Gäi M , I lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña PQ vµ BC . Dùng c¸c h×nh b×nh hµnh BPMK vµ CQMH .
Chøng minh r»ng K , I , H lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng .
Chøng minh MI lµ ph©n gi¸c cña gãc HMK .
Khi P , Q ch¹y trªn AB vµ AC th× M ch¹y trªn ®­êng nµo ? V× sao ?
C©u 4 : ( 1,5 ® ) Cho a , b , c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c , biÕt :
 a3 + b3 + c3 –3abc = 0 . Hái tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c g× ?
C©u 5 : ( 1 ® ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : E = víi x > 1 .
§¸p ¸n .
C©u 1 : Mçi ý tr¶ lêi a,b ®óng ®­îc (1,25 ®) .
BiÕn ®æi : x3 +3x2 +3x +9 = ( x+ 3 ) ( x2 +3 ) . ( 0,25 ®) .
V× x2 + 3 > 0 Þ ® k : x- 3 ( 1 ) . ( 0,25 ® ) .
BiÕn ®æi vµ rót gän ®­îc A = 	(0,75)
b.BiÕn ®æi ®­îc : A = 1 - . (0,25 ® ) .
LËp luËn ( x + 3 ) = ( 0,25 ® ) .
x+3
-4
-2
-1
1
2
4
x
-7
-5
-4
-2
-1
1
(0,5®)
KÕt luËn ®­îc : víi x { -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 } th× A Z . ( 0,25 ® ) .
C©u 2 : GPT :Mçi bµi a , b ®óng ®­îc 1 ®iÓm .
a. + = - 3 .
 + + = 0 . ( 0,25 ® ) .
 . ( 0,25 ® ) .
 ( 0,25 ® ) .
 . ( 0,25 ® ) .
x3-7x – 6 = 0 .
. ( 0,25 ® ) .	
 = 0 	 ( 0,25 ® ) .
 	 ( 0,25 ® ) . 
 	 ( 0,25 ® ) . 
C©u 3 : 
ChØ ra ®­îc :
HC//= BK ( = ) 	( 0,50 ® ) .
Suy ra tø gi¸c BKCH lµ h×nh b×nh hµnh 	( 0,25 ® ) .
Suy ra KH lµ ®­êng chÐo ®i qua trung ®iÓm I cña BC 	( 0,25 ® ) .
ChØ ra ®­îc :
MI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c KMH .	( 0,25 ® ) .
Vµ tam gi¸c KMH c©n ( v× KM = MH = BP = CQ ) .	( 0,50® ) .
Suy ra MI còng lµ ph©n gi¸c cña gãc KMH 	( 0,25 ® ) .
ChØ ra ®­îc :
Gãc BAC = gãc KMH ( gãc cã c¹nh t­¬ng øng song song ) .	( 0,25 ® ) .
Suy ra Ax lµ ph©n gi¸c cña gãc BAC còng song song víi MI .	( 0,25 ® ) .
V× Ax kh«ng ®æi ; khi PQ thay ®æi . Suy ra ®iÓm M ch¹y trªn ®­êng th¼ng d song song víi Ax vµ d ®i qua I. 	( 0,25 ® ) . 
Do M n»m trªn PQ suy ra M chØ ch¹y trªn ®o¹n IN .	( 0,25 ® ) .
C©u 4 : 	a3+ b3 + c3 –3abc =0 .	( 0,75 ® ) .
.	( 0,75 ® ) .
V× a, b , c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c >0 .	( 0,25 ® ) .
Suy ra tam gi¸c lµ tam gi¸c ®Òu .	( 0,5 ® ) .
C©u 5 : Ta cã : E =2+ ( x-1 ) + 	( 0,5 ® ) .
Theo Cauchy : ( x- 1 ) + 	( 0,25 ® ) .
Suy ra E E nhá nhÊt lµ 4 khi x-1 = V× x>1 Þ x =2 . ( 0,25 ® ) .
§Ò sè 10- §Ò thi chän häc sinh giái thcs cÊp tØnh
N¨m häc 2004 - 2005
M«n: To¸n 8
Thêi gian: 150 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
C©u 1 (2 ®iÓm)
a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3 - 7x - 6
b/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
C©u 2 (2 ®iÓm)
a/ Cho ®a thøc f(x) = ax2 + bx + c, víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
b/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña:	A = 
C©u 3 (2 ®iÓm)
a/ Chøng minh r»ng víi 4 sè bÊt kú a, b, x, y ta cã
(a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2
b/ Chøng minh r»ng: x3m+1 + x3n+2 + 2 chia hÕt cho x2 + x + 1 víi mäi sè tù nhiªn m,n.
C©u 4 (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän víi 3 ®­êng cao AA’, BB’, CC’.
Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:
C©u 5 (1 ®iÓm)
Cho 3 sè d­¬ng a, b, c cã tæng b»ng 1. Chøng minh r»ng: 
§¸p ¸n ®Ò thi chän häc sinh giái THCS cÊp tØnh
N¨m häc 2004 - 2005
M«n: To¸n 8
C©u 1
a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
x3 - 7x - 6 	= x3 - 4x - 3x - 6 
= x(x2 - 22) - 3(x + 2)	(1/2 ®iÓm)
	 	= x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2)
	= (x + 2)(x2 - 2x - 3)
	= (x + 2)(x2 - 1 - 2x - 2)
	= (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)]
	= (x + 2)(x + 1)(x - 3)	(1/2 ®iÓm)
b/ x4 -30x2 + 31x - 30 = 0 (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*)
V× x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0	(1/2 ®iÓm)
=> (*) (x - 5)(x + 6) = 0 	(1/2 ®iÓm)
C©u 2 
a/ Cã f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c lµ c¸c sè nguyªn (1/2 ®iÓm)
=> a + b + c - c = a + b nguyªn => 2a + 2b nguyªn => 4a + 2b nguyªn 
=> (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyªn => 2b nguyªn
 VËy 2a, 2b nguyªn.
b/ Cã A = 	(1/2 ®iÓm)
§Æt y = => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2	(1/2 ®iÓm)
=> min A = 2 => y = 1 => x = 2
VËy min A = 2 khi x = 2	(1/2 ®iÓm)
C©u 3
a/ Ta cã (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2
	 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2axby + b2y2	(1/4 ®iÓm)
	 a2y2 - 2axby + b2x2 0 (ay - bx)2 0	(1/4 ®iÓm)
V× bÊt ®¼ng thøc cuèi cïng lµ bÊt ®¼ng thøc ®óng nªn bÊt ®¼ng thøc ph¶i chøng minh lµ bÊt ®¼ng thøc ®óng.	(1/4 ®iÓm)
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi ay - bx = 0 hay 	(1/4 ®iÓm)
b/ Ta cã x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1	(1/4 ®iÓm)
	= x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1)	(1/4 ®iÓm)
Ta thÊy x3m - 1 vµ x3n - 1 chia hÕt cho x3 - 1 do ®ã chia hÕt cho x2 + x + 1
x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hÕt cho x2 + x + 1
C©u 4 
+ Cã SABC = BC . AA’ 	(1/2 ®iÓm)
+ Cã SHBC = BC . HA’ 	(1/2 ®iÓm)
+ Cã SHAC = AC . HB’ 	(1/2 ®iÓm)
+ Cã SHAB = AB . HC’ 	(1/2 ®iÓm)
+ ; ; 	(1/2 ®iÓm)
=> 	
VËy 	(1/2 ®iÓm)
C©u 5
Do a + b + c = 1 nªn 	(1/2 ®iÓm)
VËy 
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra a = b = c = 1/3
§Ò sè 11 
C©u 1:
1.Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n , tÝnh .
2. Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña .
C©u 2:Cho ®a thøc víi . Chøng minh r»ng tån t¹i sè nguyªn k ®Ó 	.
C©u 3
1. T×m c¸c sè nguyªn d­¬ng x, y tho¶ m·n .
2. Cho sè tù nhiªn , b lµ tæng c¸c ch÷ sè cña a, c lµ tæng c¸c ch÷ sè cña b, d lµ tæng c¸c ch÷ sè cña c. TÝnh d.
C©u 4: Cho ph­¬ng tr×nh , t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng.
C©u 5: Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh b»ng ®­êng chÐo AC, trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm E, ®­êng th¼ng EB c¾t ®­êng th¼ng DC t¹i F. Chøng minh ®ång d¹ng, tÝnh .
C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c trong ®Ønh A c¾t BC t¹i D, trªn c¸c ®o¹n th¼ng DB, DC lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm E vµ F sao cho. Chøng minh r»ng: .
C©u 7: Trªn b¶ng cã c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 2008, ng­êi ta lµm nh­ sau lÊy ra hai sè bÊt kú vµ thay b»ng hiÖu cña chóng, cø lµm nh­ vËy ®Õn khi cßn mét sè trªn b¶ng th× dõng l¹i. Cã thÓ lµm ®Ó trªn b¶ng chØ cßn l¹i sè 1 ®­îc kh«ng? Gi¶i thÝch.
H­íng dÉn chÊm m«n to¸n 8
Bµi
Néi dung
§iÓm
1.1
Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n , tÝnh .
2,00
Ta cã 
0,50
0,50
1,00
1.2
Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña .
2,00
DÊu = x¶y ra khi 
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña B lµ 3 khi x = y = z = 1
1,25
0,50
0,25
2
Cho ®a thøc víi . Chøng minh r»ng tån t¹i sè nguyªn k ®Ó 	.
2,00
Víi x = 2008 chän 
Suy ra 
1,25
0,50
0,25
3.1
T×m c¸c sè nguyªn d­¬ng x, y tho¶ m·n .
2,00
 ¨
 ¨ x, y nghuyªnd­¬ng do vËy x + 5, 3y + 1 nguyªn d­¬ng vµ lín h¬n 1. 
¨Tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n khi x + 5, 3y + 1 lµ ­íc lín h¬n 1 cña 49 nªn cã: 
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn lµ x = y = 2.
0,75
0,50
0,75
3.2
Cho sè tù nhiªn , b lµ tæng c¸c ch÷ sè cña a, c lµ tæng c¸c ch÷ sè cña b, d lµ tæng c¸c ch÷ sè cña c. TÝnh d.
2,00
 mµ 
Tõ (1) vµ (2) suy ra d = 8.
1,00
0,75
0,25
4
Cho ph­¬ng tr×nh , t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng.
3,00
§iÒu kiÖn: 
m = 1ph­¬ng tr×nh cã d¹ng 0 = -12 v« nghiÖm.
 ph­¬ng tr×nh trë thµnh 
Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng 
VËy tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n khi .
0,25
0,75
0,25
0,50
1,00
0,25
5
Cho h×nh thoi ABCD cã c¹nh b»ng ®­êng chÐo AC, trªn tia ®èi cña tia AD lÊy ®iÓm E, ®­êng th¼ng EB c¾t ®­êng th¼ng DC t¹i F. Chøng minh ®ång d¹ng, tÝnh .
3,00
¨ ®ång d¹ng (g-g)
¨ ®ång d¹ng (c-g-c)
¨ ®ång d¹ng 
 mµ 
1,00
1,00
1,00
6
Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c trong ®Ønh A c¾t BC t¹i D, trªn c¸c ®o¹n th¼ng DB, DC lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm E vµ F sao cho. Chøng minh r»ng: .
3,00
¨KÎ EHAB t¹i H, FKAC t¹i K
 ®ång d¹ng (g-g)
¨T­¬ng tù 
¨ (®pcm).
1,00
1,25
0,50
0,25
7
Trªn b¶ng cã c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 2008, ng­êi ta lµm nh­ sau lÊy ra hai sè bÊt kú vµ thay b»ng hiÖu cña chóng, cø lµm nh­ vËy ®Õn khi cßn mét sè trªn b¶ng th× dõng l¹i. Cã thÓ lµm ®Ó trªn b¶ng chØ cßn l¹i sè 1 ®­îc kh«ng? Gi¶i thÝch.
2,00
Khi thay hai sè a, b bëi hiÖu hiÖu hai sè th× tÝnh chÊt ch½n lÎ cña tæng c¸c sè cã trªn b¶ng kh«ng ®æi.
Mµ ; do vËy trªn b¶ng kh«ng thÓ chØ cßn l¹i sè 1.
1,00
1,00
§Ò sè 12- §Ò thi chon ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 8
Bµi 1(2,5 ®iÓm): Cho ®a thøc: f(x)=x4+6x3+11x2+6x
	1/ Ph©n tÝch f(x) thµnh nh©n tö.
	2/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× f(x) +1 lu«n cã gi¸ trÞ lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 2 (3 ®iÓm): 
	a)Cho x,y,z lµ nh÷ng sè nguyªn kh¸c 0 vµ a=x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy. Chøng minh r»ng
	ax+by+cz chia hÕt cho a+b+c.
	b)T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn (x,y) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh.
	(x+1) y = x2+4
Bµi 3(1,5 ®iÓm):
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x+y+z; BiÕt r»ng x; y; z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn y2 + yz + z2 = 2 - .
Bµi 4(3 ®iÓm):
	a)Cho tam gi¸c ABC. O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña tam gi¸c. Gäi D, E, F, M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CA, OA, OB, OC. Chøng minh c¸c ®o¹n th¼ng EM, FN, DP ®ång quy.
	b)Cho tam gi¸c ABC (AB<AC). Dùng vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ABD c©n t¹i B vµ tam gi¸c ACE c©n t¹i C sao cho gãc ABD = gãc ACE. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. H·y so s¸nh MD vµ ME.
§¸p ¸n, biÓu ®iÓm m«n to¸n
Bµi
Néi dung
§iÓm
1(2,5 ®)
1.LÇn l­ît ph©n tÝch ®Ó cã kÕt qu¶ f(x)=x (x+1) (x+2) (x+3)
.....................
2.Tõ kÕt qu¶ ë c©u 1 ta cã:
+ f(x) +1 = x (x+3) (x+1) (x+2) + 1 = (x2 +3x)(x2 + 3x+2) + 1
+ §Æt x2 + 3x = t; ta cã A=t(t+2)=t2+2t+1=(t+1)2
+ do xZ nªn t=x2+3x Z ;do ®ã (t+1)2 Z vµ (t+1)2 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
+ KL :víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× f(x) +1 lµ sè chÝnh ph­¬ng 
1
..
0,5
0,75
0,25
2(3®)
a,(1,5) ta cã: ax+by+cz = x3+y3+z3-3xyz.
Mµ :
x3+ y3+z3-3xyz = (x+y)3-3xy(x+y)+z3-3xyz =
= (x+y+z)( x2+y2+z2-xz-yz+2xy)-3xyz(x+y+z)=
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx). 
x3+ y3+z3-3xyz = (x+y+z)( x2+y2+z2-xy-yz-zx).
MÆt kh¸c : a+b+c = (x2+y2+z2-xy-yz-zx).
Tõ ®ã ta cã : ax+by+cz chia hÕt cho a+b+c (®pcm).
0,25
1®
0,25
b,(1,0®) Ta cã : (x+1)y= x2+4(x+1)y-(x2-1)=5(x+1)(y-x+1)=5
Do ®ã : x+1N vµ lµ ­íc cña 5 Suy ra x+1=1 ;5
Suy ra x=0,4. Thö trùc tiÕp ta ®­îc c¸c cÆp sè tù nhiªn (x,y) tho¶ ®Ò lµ (0;4);(4;4).
0,5
0,5
0,5
3(1,5®)
+Ta cã y2+yz+z2=2-
2y2+2yz+2z2=4-3x2
3x2+2y2+2yz+2z2=4 (1)
 x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+x2-2xy+y2+x2-2xz+z2=4
(x+y+z)2+(x-y)2+(x-z)2=4
+Do (x-y)20 ; (x-z)20 nªn tõ (*) suy ra (x+y+z)24
Hay -2x+y+z2
+DÊu “=” x¶y ra khi x-y=0 vµ x-z=0 hay x=y=z
Thay vµo (1) ta ®­îc 9x2 = 4  x =  hoÆc x= -
+KL : Víi x=y=z=- th× min B = -2
 Víi x = y = z = th× max B = 2
0,25
0,5
0,25
0,5
4(3®)
a.(1,5®) VÏ h×nh chÝnh x¸c
Häc sinh chøng minh ®­îc MF//NE; MF=NE (TÝnh chÊt ®­êng trung b×nh) Suy ra MFEN lµ h×nh b×nh hµnh nªn EM, FN c¾t nhau t¹i mét trung ®iÓm I cña chóng.
Chøng minh t­¬ng tù: MDEP lµ h×nh b×nh hµnh nªn ME, DP c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng.
Tõ ®ã suy ra DP, ME, NF ®ång quy t¹i I.
0,5®
0,5®
0,5®
b.(1,5®)
*VÏ h×nh chÝnh x¸c
Dùng h×nh b×nh hµnh ABFC
Häc sinh chøng minh ®­îc 
 Trªn c¹nh CA lÊy ®iÓm A1, trªn c¹nh CE lÊy ®iÓm C1 sao cho
CA1=CC1.Dùng h×nh b×nh hµnh AEGA1 do tam gi¸c ACE c©n t¹i C nªn gãc CAE900 do ®ã gãc CAE= gãc AEC< gãc AEG suy ra A1C1<A1G hay DA<AE. XÐt hai tam gi¸c AFD vµ AFE suy ra gãc AFD = gãc AFE. XÐt 2 tam gi¸c MFD vµ tam gi¸c MFE suy ra MD<ME.(®pcm)
0,25
0,25
0,5
0,5
§Ò sè 13
C©u 1:Cho biÓu thøc: A=
.a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh.
.b, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng o.
.c, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 2 (3 ®iÓm) 
a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120
b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24
C©u 3 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau :
C©u 4 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S.
1, Chøng minh AQR vµ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n.
2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt.
3, Chøng minh P lµ trùc t©m SQR.
4, MN lµ trung trùc cña AC.
5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng.
®¸p ¸n to¸n 8
C©u1 (3®) 
a.(1®) Ta cã A= (0,5®)
VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x¹3,x¹1/3 (0,5®)
b. Ta cã A= do ®ã A=0 3x +4=0 (0,5®) 
 x=-4/3 tho· m·n ®k	 (0,25®) 
VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®)
c. (1®) Ta cã A= = 1+ 
§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× ph¶i nguyªn 3x-1 lµ ­íc cña 5 3x-1¹±1,±5
 => x= -4/3;0;2/3;2
VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®)
C©u 2 . a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120
KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4)	
 b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)
 => A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)
Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A 24	 (1 ®iÓm )
 C©u 3 §KX§ : 
 PT 
 ( x-1) (x-2)(3x+2)
x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3
C¶ 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ .
VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S = 
C©u 4: 
1, ADQ = ABR 
v× chóng lµ hai tam gi¸c 
vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh 
vu«ng gãc) 
vµ DA=BD ( c¹nh h×nh vu«ng). 
Suy ra AQ=AR, nªn AQR lµ 
tam gi¸c vu«ng c©n.
 Chøng minh t­îng tù ta cã: ARP=ADS
do ®ã AP = AS vµAPS lµ tam gi¸c c©n t¹i A.
2, AM vµ AN lµ ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c 
vu«ng c©n AQR vµ APS nªn ANSP vµ AMRQ.
MÆt kh¸c : = 450 nªn gãc MAN vu«ng. VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.
3, Theo gi¶ thiÕt: QARS, RCSQ nªn QA vµ RC lµ hai ®êng cao cña SQR. VËy P lµ trùc t©m cña SQR.
4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM =QR.
Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM = QR.
MA = MC, nghÜa lµ M c¸ch ®Òu A vµ C.
Chøng minh t¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA= NC, nghÜa lµ N c¸ch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ trungtrùc cña AC
5, V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng c¸ch ®Òu A vµ C. Nãi c¸ch kh¸c, bèn ®iÓm M, N, B, D cïng c¸ch ®Òu A vµ C nªn chóng ph¶i n»m trªn ®êng trung trùc cña AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng. 
§Ò sè 14
C©u 1: a) T×m c¸c sè nguyªn m, n tho¶ m·n 
 b) §Æt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 . Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña n.
 c) NÕu a chia 13 d­ 2 vµ b chia 13 d­ 3 th× a2+b2 chia hÕt cho 13.
C©u2 : Rót gän biÓu thøc: 
 a) A= + + 
 b) B = 
C©u 3: TÝnh tæng: S = + + +  + 
 C©u 4: Cho 3 sè x, y, z, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xyz = 2009. Chøng minh r»ng biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c biÕn x, y, z :
C©u 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
C©u 6: Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l­ît t¹i D vµ E . Chøng minh :
a) BD.CE=
b) DM,EM lÇn l­ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.
§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
C©u 
S¬ l­îc lêi gi¶i
BiÓu ®iÓm
1
a, Thùc hiÖn chia = n + 
0.5
§Ó m nguyªn víi n nguyªn khi n + 1 lµ ­íc cña 1
0.5
Hay n + 1 Î{1; -1 }. Khi ®ã : n+1 = 1 Þ n = 0 ÎZ ( t/m)
 n+ 1 = -1 Þ n = -2 Î Z (t/m)
Víi n = 0 Þ m = 1 . Víi n = -2 Þ m = - 3 . VËy ...
0.5
b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) = ..
 = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1)
0.5
Khi ®ã : 3(n+1) chia hÕt cho 3 
 n( n +1) (n+ 2) lµ tÝch cña 3 sè nguyªn d­¬ng liªn