Bài tập nâng cao hình học 9

ãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 13 : 21. 
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân giác của góc BAD không ?.
c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vị độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AD.
a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau.
b) Tính sinICJ.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm.
a) Tính AH.
b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC.
c) Tính AC. Vì sao ta không có hệ thức 
Bµi 6. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ^ AD. BiÕt = 580, AC = 8.
a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC
b) Chøng minh AC2 = AB.DC
Bài 9: Cho rABC có . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều
Bài 7 Cho rABC có là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=AB.AC.sinA. Aùp dụng: a) Tính biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và 
b) Biết = (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của 
Bài 8: Cho rABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc theo thứ tự là a, b, c. Chứng minh: .
Bài 9: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm, = 1200. Kẻ đường phân giác AD của . Tính độ dài của AD.
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD ( ).
	a) Chứng minh : .
b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm, thì tứ giác ABCD là hình gì?. Tính diện tích của tứ giác đó.
Bài 11: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; < 900 ). Kẻ BK ^ AC.
	a) Chứng minh : .
	b) Chứng minh : .
	c) Biết , tính sinA.
Bài 12: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chứng minh : .
	b) Chứng minh : .
Bài 13: Cho rABC có = 600. Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
	a) Chứng minh : KH = BC.cosA.
	b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều.
Bài 14: Cho tam giác ABC có BC = a. . Về phía ngoài của rABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là Q và N. Trung điểm của BC và EG là M và P.
	a) Chứng minh rAEC = rABG.
	b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
	c) Biết . Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và .
Bài 15: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD ( M Ỵ AB, N Ỵ BC, P Ỵ CD, Q Ỵ DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo của hình thoi. Biết AB = 7 cm. .
	a) Tính diện tích hình thoi ABCD.
b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ^ AD và CK ^ AB.
	a) Chứng minh rCKH ~ rBCA.
	b) Chứng minh .
	c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Bài 17: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC. Nối AF và BE.
	a) Chứng minh AF = BE.cosC.
	b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
	c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính .
Bài 18: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P.
	a) Chứng minh CM ^ DN.
	b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc .
	c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc và diện tích tam giác MDN.
Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD; = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ^ BD và DF ^ AC.
	a) AC cắt BD ở O, tính .
	b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó.
c) Kẻ AG ^ BD và BH ^ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó.
Bài 20: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B.
a) Chứng minh : 
b) Tính số đo các góc của rMAB.
Bài 21: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E 
và F .
	a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.
	b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của rEFG.
	c) Chứng minh rEFG ~ rABC.
Bài 22: Cho rABC, kẻ AH ^ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm.
	a) Chứng minh rABC là tam giác vuông.
	b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho
	. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của rMPN. 
Bài tập nâng cao chương II
1- Đường trịn và sự xác định của đường trịn
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); .
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm O và bán kính của đường tròn này.
b) Chứng minh AC ^ OB.
Bài 2 Cho rABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành.
Bài 3: Cho rABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K).
a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ; CK, CH là những đường phân giác của góc .
b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật.
Bài 4: Cho đường tròn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH ^ OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH.
a) Tìm quĩ tích các điểm P khi M chạy trên cung AC..
b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O).
2. Tính chất đối xứng của đường trịn 
Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R. 
a) Chứng minh rằng AD // OO’.
b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD.
 c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố định khi các dây AB, CD thay đổi vị trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luôn nằm giữa A, D.
Bài 7: Cho góc . Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua Ot). Hạ ID ^ Ox, IE ^ Oy.
a) Chứng minh DA = EB.
b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh rTAI, rTBI là các tam giác đều. Xác định vị trí của T một cách nhanh nhất.
c) Tìm quĩ tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt Ox, Oy).
d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm của rAIB (theo điều kiện câu c).
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh:
a) rAEF là tam giác cân.
b) DO ^ OE.
c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn.
3. V ị trí t ương đối của đường th ẳng và đường trịn – 
Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’). Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp tuyến chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)). Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm Q, Q’.
 a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra .
 b) Chứng minh rằng .
c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng. 
Bài 9: Cho góc . Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox tại A, tiếp xúc với Oy tại B. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, cắt Oy tại F.
a) Tính chu vi rOEF. Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trị không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
b) Chứng minh có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc 300. Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng:
a) rOAC ~ rCAD.
b) DB.DA = DC2 = 3R2.
Bài 11: Cho rABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H.
b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F.
Bài 12: Cho rABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K.
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E.
a) Tứ giác ACED là hình gì ?
b) Chứng minh rHCE cân tại H.
c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của BM với By. Chứng minh rằng:
a) rA’AB ~ rABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2.
b) CA = CA’ ; DB = DB’.
c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui.
Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã cho.
a) Chứng minh: .
b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này =1800.
4. V ị trí tương đối của hai đường trịn
Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B. biết OO’ = 5 cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D.
 a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng;
 b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông;
c) Tính diện tích các tam giác OBO’ và CBD;
d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD.
Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A). DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D Ỵ (O) ; E Ỵ (O’). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng: a) ;
 b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); c) MD.MB = ME.MC.
Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc trong với (O ; R) và một đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với (O1 ; r1).
 a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R.
 b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) và (O2 ; r2) biết R = 3 cm ; r1 = 1 cm.
Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d. Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính AD, nó cắt AB tại E. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp đường thẳng DE tại F.
a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau.
b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng.
Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài nhau tại A. Đường thẳng d1 qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d2 vuông góc với d1 tại A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’.
a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố định.
b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M.
c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’. Tìm quĩ tích điểm I khi d1 và d2 thay đổi vị trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau).
Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quay xung quanh điểm A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C.
a) Chứng minh OB // O’C.
b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng.
c) Qua O vẽ d ^ AB, nó cắt BC tại M. Tìm quĩ tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi vị trí nhưng vẫn vuông góc với nhau.
5. Ơn tập chương II
Bµi 1: Cho ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xĩc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cđa (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iĨm. TiÕp tuyÕn chung trong cđa hai ®trßn t¹i A c¾t BC t¹i M.
Chøng minh r»ng A, B, C thuéc ®­êng trßn ( M ; BC/2 )
§­êng th¼ng OO’ cã vÞ trÝ g× ®èi víi ®­êng trßn ( M ; BC/2 )
X¸c ®Þnh t©m cđa ®­êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M.
Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cđa ®­êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M.
Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iĨm O cđa AB. Trªn mét nưa mỈt ph¼ng bê AB kỴ hai tia
 Ax, By vu«ng gãc víi AB. Mét gãc vu«ng cã ®Ønh lµ O cã hai c¹nh c¾t Ax vµ By t¹i C vµ D. 
Gäi C’ lµ giao ®iĨm cđa tia CO víi tia ®èi cđa tia By. Chøng minh:
Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n.
§­êng th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cđa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB.
§­êng trßn ngo¹i tiÕp rCOD lu«n tiÕp xĩc víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh khi gãc vu«ng t¹i O thay ®ỉi
Bµi 3: Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi nhau. C¸c tiÕp tuyÕn chung ngoµi MN, PQ ( M,P n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ).
CMR: MN ®èi xøng víi PQ qua ®­êng th¼ng OO’.
CMR: 4 ®iĨm M, N, P, Q n»m trªn mét ®­êng trßn.
Nèi MQ c¾t (O), (O’) t­¬ng øng t¹i c¸c ®iĨm thø hai A, B. Chøng minh MA = QB.
Bµi 4: Cho ®­êng trßn (O) vµ tiÕp tuyÕn xy t¹i tiÕp ®iĨm C n»m trªn (O).
CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB.
CMR nÕu mét ®­êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xĩc víi (O) t¹i mét ®iĨm D th× 3 ®iĨm C, O, D th¼ng hµng.
Cho hai ®­êng th¼ng song song d1 , d2 c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét ®iĨm M n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng d1 , d2 vµ c¸ch d1 mét kho¶ng b»ng 1 cm. H·y dùng mét ®­êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xĩc d1 , d2.
Bµi 5: Cho 2 ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xĩc víi nhau t¹i A. Qua A kỴ ®­êng th¼ng a c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®­êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh BC // B’C’.
Hướng dẫn giải
§2. Tính chất đối xứng
Bài 2: a) Ta chứng minh được AA’ = BB’; suy ra AD = BE
b) Vì nên dễ dàng chứng minh 
Ta chứng minh được rATI = rBTI
Nên . Suy ra đó là những tam giác đều.
Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) nó cắt cung nhỏ AB tại T, đó chính là tâm đường tròn qua A, I, B.
c) Ta chứng minh được rằng đường tròn tâm T bán kính TI đi qua O. Thật vậy, giả sử (T) cắt IO tại O’ và cắt O’T tại T’.
Ta có . Nhưng . Suy ra , do đó .
Ta có . Nếu O’B và OB là hai đường thẳng phân biệt thì có một góc ở vị trí góc ngoài còn góc kia là góc trong của rBOO’, như vậy chúng không thể bằng nhau được. Do đó BO và BO’ trùng nhau, O’ trùng với O.
PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO Þ T thuộc trung trực của OI cố định. Để đường tròn tâm T cắt các tia Ox, Oy thì là các góc nhọn. Do đó T nằm ở miền trong góc xác định bởi Ou ^ Ox, Ov ^ Oy. Do đó T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực của OI, vừa thuộc miền trong của góc uOx (để A, B phân biệt).
PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường tròn bán kính TI, nó cắt Ox tại A’, cắt Oy tại B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B. (Chứng minh rIDA’ = rIEB’ Þ IA’ = IB’).
KẾT LUẬN: Quĩ tích T là đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2.
	d) AIBT là hình thoi nên trực tâm H của rAIB nằm trên đường thẳng TI, Bz ^ AI, ta chứng minh được Bz ^ BT.
Ta chứng minh được H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I.
Quĩ tích các trực tâm H là đoạn thẳng H1H2 đối xứng của T1T2 qua I không kể H1, H2.
Bài 3 
a) Ta c/m được AO là phân giác của góc FAE nên AO là trục đối xứng
của góc FAE. AO là đường thẳng chứa đường kính của (O) nên AO là 
trục đối xứng của đường tròn (O). F là giao điểm của AB với (O).
Hình đối xứng của F là giao điểm của AC với (O), đó chính là điểm E.
F và E đối xứng nhau qua AO. Vậy rAEF là tam giác cân.
b) Ta c/m được: .
Suy ra hay DO ^ OE.
c) Lấy I là trung điểm của DE, ta có ID = IA = IE = IO. Vậy D, A, O, E nằm trên một đường tròn tâm I bán kính DE/2.
Bài 4:
 Ta có C và D đối xứng qua O.
Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố định. CA có hình đối xứng qua O
Là DB’ nên CA = DB’, do đó DB = DB’.
Suy ra D nằm trên trung trực d của BB’.
§3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Tiếp tuyến
Bài 9: 
a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.
rOIB có ; ta tính được ; do đó:
OE + EF + OF = 2R.
Giá trị 2R không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
b) Ta tính được .
Suy ra . Vậy có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
Bài 10:
a) Tính số đo các góc, ta được .
Hai tam giác OAC và CAD có 
Vậy rOAC ~ rCAD.
b) Tam giác COB là tam giác đều, (có nhiều cách chứng minh),
. Dễõ dàng chứng minh được rOAC ~ rBCD. Suy ra BD = R. 
rDCB ~ rDAC Þ . Do đó DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R.
Vậy DA.DB = DC2 = 3R2.
Bài 11: 
a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường tròn đường
kính BH. Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường tròn
đường kính BH.
Ta có IH ^ AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC.
Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J).
b) Chứng minh không khó khăn AFHE là hình chữ nhật. Gọi P là giao điểm AH và EF. Ta có PE = PF = PH = PA. 
Chứng minh rPEI ~ rPHI (c.c.c), suy ra . Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Chứng minh rPFJ ~ rPHJ (c.c.c), suy ra . Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (J)
Bài 12:
a) Gọi O là trung điểm của AI ta có OA = OI = OK. Vậy đường tròn tâm O 
đường kính AI đi qua K.
b) Ta có rAOK cân Þ (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).
Ta lại có HK = HB nên . Từ đó ta c/m được OK ^ HK.
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn O.
Bài 13:
ACED là hình thang vuông
b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x.
Ta có các hệ thức sau: x + y =R hay HI = R
OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y
Hai tam giác OHC và IEH có: OH = IE = y ; OC = IH = R ; (đv)
Suy ra rOHC = rIEH (c.g.c).
Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân tại H.
c) Do rOHC = rIEH nên , tức là HE ^ IE. Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I
Bài 14: a) Tự giải.
b) CA = CM (hai tiếp tuyến cắt nhau tại C)
Lấy I là trung điểm của AM, CI là đường trung bình của rAA’M.
Vậy CA = CA’. Tương tự DB = DB’.
c) Ta có AA’ // BB’. Lại có .Vậy B’A’, DC, AB đồng qui.
Bài 15: a) CO ^ AE tại P, BO ^ AD tại Q.
Gọi I là giao điểm của OP và AQ.
Hai tam giác PAI và QOI có: 
Suy ra .
b) Tứ giác AQOP’ có 
mà tổng các góc trong tứ giác lồi là 3600 , suy ra 
§4. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 8:
a) AOBO’ là hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) nên AB và OO’
cắt nhau tại I, trung điểm chung của AB và OO’. D’ đối xứng của
D qua O nên D’ thuộc O’.
OCO’D’ là hình bình hành (OC // O’D’ ; OC = O’D’).
AB và CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Nhưng trung điểm của AB là I, nên CD’ đi qua I. Vậy AB, OO’, CD’ cắt nhau tại I, trung điểm của mỗi đoạn thẳng.
b) Tứ giác OCDO’ là hình bình hành nên OO’ // CD. Vì BA ^ OO’ nên BA ^ CD.
Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ là hình bình hành do đó AD’ // CB.
Vì DA ^ AD’ (DD’ là đường kính) suy ra DA ^ CB. Vậy A là trực tâm của rBCD.
Bài 9: a) B, A, E thẳng hàng, suy ra hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) 
tiếp xúc nhau tại E.
b) Ta c/m được 
BF // AD (*)
Vì ABCD là hình bình hành BC // AD (**)	
Từ (*) và (**) ta suy ra C, B, F thẳng hàng
Bài 10:
Tâm đường tròn tiếp xúc với (O) tại A nằm trên đường thẳng OA
Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với
D tại B. Tại A vẽ tiếp tuyến chung nó cắt d tại P, thì PB = PA.
Từ đó ta suy ra cách dựng
Bài 11:
a) A’B // AC
Ta có 
Do đó rOA’B ~ rO’AC’ 
Ta có BOC là đường kính của đường tròn (O),
 B’O’C’ là đường kính của đường tròn (O’)	
Ta có BC // B’C’ và nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui tại M.
Ta lại có . Suy ra M là điểm cố định.
b) Giả sử PP’ cắt OO’ tại M1, ta chứng minh được . Suy ra M1 trùng với M.
c) Phần thuận: (A, I cố định), đồng thời I không ở miền ngoài của góc PMT.
 Do đó I nằm trên cung tròn đường kính AM, giới hạn bởi hai tiếp tuyến MP, MT, đó là cung I1I2 (khi B ở vị trí P thì C’ ở vị trí P’)
Phần đảo: Lấy I’ trên cung I1I2. Đường thẳng MI’ cắt (O) tại B1, cắt (O’) tại C’1, ta phải chứng minh và AI’ ^ B1C*1 (có thể sử dụng định lí đảo của định lí Thales)
Kết luận: Quĩ tích điểm I là cung .
Bài 13: Ta tính được suy ra .
Ta cũng tính được BC = R. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp,	
Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB, BC, CD.
Trong tam giác IAD vuông tại D ta thấy ,
ID = IF = r, do đó AD = AF = r. Ta có: SABC = p.r = (AB + BC + CA).r
	= (AD + AF + DB + CF + CE + EB).r
Trong đ